Решение. Разложим полученную рациональную правильную дробь на сумм

Разложим полученную рациональную правильную дробь на сумму простейших дробей, учитывая, что знаменатель имеет только комплексные корни (; ; ; ; ).

Приравниваем числители:

Приведем подобные в правой части равенства:

Для определения коэффициентов применим метод приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях :

Заметим, что полученная система четырех уравнений распалась на две системы двух уравнений и , которые и были решены.

Учитывая полученные результаты для , можно записать:

Вспомогательные вычисления:

Аналогично находится .

Таким образом,

Применение универсальной подстановки, как правило, приводит к громоздким вычислениям, о чем свидетельствует и решение примера (2.7). Поэтому ниже приведем частные случаи, когда интеграл можно рационализировать, не применяя универсальную подстановку, что упрощает вычисления.

1. .

2. .

3. .

4. при условии, что и входят в подынтегральную функцию только в четных степенях, рационализируется также подстановкой , поскольку , .

5. рационализируется: подстановкой , если -нечетное, подстановкой , если - нечетное; применением формул , , если и - неотрицательные четные числа; если и - четные числа, но хотя бы одно отрицательное, то подстановкой (случай 4).