Определение определенного интеграла и его свойства

Пусть на отрезке задана ограниченная функция . Разделим отрезок произвольным образом на частей точками . На каждом частичном отрезке разбиения выберем произвольную точку , вычислим в ней значение функции , умножим его на длину отрезка и составим сумму

,

которую называют интегральной сумой функции , соответствующей выбранному разбиению.

Предел, к которому стремится интегральная сумма , когда максимальная из длин частичных отрезков стремится к нулю, если он существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка , ни от выбора точек , называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается символом .

Таким образом, по определению

(3.1)

Число называется нижним пределом, а - верхним пределом определенного интеграла; отрезок называется отрезком интегрирования, - переменной интегрирования.

Если для функции предел (3.1) существует, то она называется интегрируемой на отрезке .

Имеет место утверждение: если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла: если на отрезке , то численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и осью (рис.3.1):

.

Рис. 3.1.

Отметим, что, по определению,

1) ; 2) . (3.2)

Приведем без доказательства основные свойства определенного интеграла, часть из которых проиллюстрируем графически, пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

.

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций.

.

1. Если на отрезке , где , функции и удовлетворяют условию

, то

Рис. 3.2

Рис.3.3.

4. Если и - наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке и , то

5. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует такая точка , что справедливо равенство

.

Рис.3.4.

6. Если функция интегрируема на каждом из отрезков и , то она интегрируема и на отрезке и

Рис.3.5.

1. Если подынтегральная функция четная () на отрезке интегрирования , то .

Рис.3.6.

8. Если подынтегральная функция нечетная () на отрезке интегрирования , то .

Рис.3.7.

9. Если подынтегральная функция - периодическая с периодом (), то , т.е. для периодической с периодом функции определенный интеграл дает одно и то же значение при интегрировании по любому отрезку длиной, равной .

► Запишите формулировку свойств определенного интеграла, записанных формулами (3.2).

► Запишите свойство 2) определенного интеграла для случая трех слагаемых функций.