Определение определенного интеграла и его свойства

Пусть на отрезке задана ограниченная функция . Разделим отрезок произвольным образом на частей точками . На каждом частичном отрезке разбиения выберем произвольную точку , вычислим в ней значение функции , умножим его на длину отрезка и составим сумму

которую называют интегральной сумой функции , соответствующей выбранному разбиению.

Предел, к которому стремится интегральная сумма , когда максимальная из длин частичных отрезков стремится к нулю, если он существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка , ни от выбора точек , называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается символом .

Таким образом, по определению

(3.1)

Число называется нижним пределом, а - верхним пределом определенного интеграла; отрезок называется отрезком интегрирования, - переменной интегрирования.

Если для функции предел (3.1) существует, то она называется интегрируемой на отрезке .

Имеет место утверждение: если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла: если на отрезке , то численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и осью (рис.3.1):

Рис. 3.1.

Отметим, что, по определению,

1) ; 2) . (3.2)

Приведем без доказательства основные свойства определенного интеграла, часть из которых проиллюстрируем графически, пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций.

Если на отрезке , где , функции и удовлетворяют условию

, то

Рис. 3.2

Рис.3.3.

4. Если и - наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке и , то

5. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует такая точка , что справедливо равенство

Рис.3.4.

6. Если функция интегрируема на каждом из отрезков и , то она интегрируема и на отрезке и

Рис.3.5.

Если подынтегральная функция четная () на отрезке интегрирования , то .

Рис.3.6.

8. Если подынтегральная функция нечетная () на отрезке интегрирования , то .

Рис.3.7.

9. Если подынтегральная функция - периодическая с периодом (), то , т.е. для периодической с периодом функции определенный интеграл дает одно и то же значение при интегрировании по любому отрезку длиной, равной .