Дробный факторный эксперимент

Число опытов ПФЭ быстро растет с увеличением числа факторов и при больших этот вид эксперимента оказывается практически неприемлемым.
Для уменьшения числа опытов из множества точек факторного пространства может быть отобрана их некоторая часть, соответствующая подходящему числу опытов и представляющая собой дробный факторный план.

Дробный факторный эксперимент (ДФЭ), как и ПФЭ, позволяет исследовать полиномиальную ММ вида 2.1. При этом число оцениваемых параметров ММ и число точек факторного пространства связано с понятием насыщенности эксперимента. Если число точек факторного пространства превышает число оцениваемых параметров, эксперимент называется ненасыщенным, если равно – насыщенным, если меньше – сверхнасыщенным.

3.1. Составление матрицы планирования ДФЭ

Для построения МП ДФЭ из имеющихся факторов отбирают основных факторов, для которых строят МП ПФЭ. Эту матрицу дополняют затем столбцами, которые соответствуют оставшимся факторам. Уровни дополнительных факторов определяют как поэлементное умножение уровней основных факторов, количество которых не менее двух и не более . Говорят, что ДФЭ – это эксперимент типа . Выбранное для дополнительного фактора произведение называется генератором плана (поскольку определяет для дополнительного фактора правило чередования уровней варьирования в МП). Очевидно, что ДФЭ типа будет иметь генераторов. Например, для ДФЭ типа существует только две возможности определения закона чередования уровней (генератор плана или ). Такой план имеет опыта по сравнению с в случае ПФЭ (табл. 3.1). При трех основных факторах ДФЭ содержит восемь опытов, а генераторами для дробных планов могут служить произведения .

Tаблица 3.1

МП ДФЭ типа

	–1	–1	+1
	+1	–1	–1
	–1	+1	–1
	+1	+1	+1

При введении одного дополнительного фактора для ДФЭ типа может использоваться любой из четырех возможных генераторов: , , и .

Для двух дополнительных факторов (ДФЭ типа ) в качестве генераторов можно выбрать любые два из 12 вариантов, например, , . Заметим, что для ПФЭ в этом случае потребовалось бы не восемь, а 32 опыта.

При выборе генерирующего соотношения необходимо использовать априорную информацию о значимости того или иного взаимодействия факторов. Предположим, что проводится исследование влияния на технологический процесс трех факторов: – конечная температура нагрева, – скорость нагрева и – изотермическая выдержка. При этом известно, что взаимодействие конечной температуры и скорости нагрева незначительно, то есть произведением в ММ можно пренебречь. Используем это обстоятельство для изучения влияния дополнительного фактора – изотермической выдержки, выбрав генератором (табл. 3.1).

Если же заранее не известна значимость взаимодействий, то в качестве генераторов обычно используют взаимодействия высших порядков, поскольку вероятность взаимозависимости факторов, как правило, уменьшается с ростом их числа.

Таким образом, в качестве МП ДФЭ типа используется 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. часть МП ПФЭ типа . Такие планы называют иногда дробными репликами, а сам метод ДФЭ – методом дробных реплик. Возможные дробные реплики от ПФЭ типа приведены в табл. 3.2, здесь 1/2 реплики представляет собой ненасыщенный,
1/4 реплики – насыщенный, а 1/8 реплики – сверхнасыщенный эксперименты.

Таблица 3.2

МП ПФЭ типа

	Факторы		Дробные реплики
	+1	+1	+1	+1		1/8	1/4	1/2
	–1	+1	+1	+1
	+1	–1	+1	+1		1/8
	–1	–1	+1	+1
	+1	+1	–1	+1		1/8	1/4
	–1	+1	–1	+1
	+1	–1	–1	+1		1/8
	–1	–1	–1	+1
	+1	+1	+1	–1		1/8	1/4	1/2
	–1	+1	+1	–1
	+1	–1	+1	–1		1/8
	–1	–1	+1	–1
	+1	+1	–1	–1		1/8	1/4
	–1	+1	–1	–1
	+1	–1	–1	–1		1/8
	–1	–1	–1	–1

Матрица планирования ДФЭ типа для моделей, содержащих кроме линейных членов также взаимодействия, строятся так же, как и для линейных моделей. Обычно предполагается, что только некоторые парные взаимодействия и взаимодействия высших порядков являются значимыми. При этом значимые взаимодействия рассматриваются как самостоятельные факторы, а незначимые – приравниваются к факторам, не вошедшим в число основных. Таким образом, при использовании дробных планов для моделей с взаимодействиями можно включать в рассмотрение лишь столько дополнительных факторов, сколько существует незначимых взаимодействий. План ДФЭ является центральным и обладает свойством ортогональности, однако свойство рототабельности здесь не выполняется. Для линейных моделей план ДФЭ является также A- и D-оптимальным. Это означает, что для линейной ММ при числе опытов ДФЭ обеспечивает в области планирования максимально возможную точность оценок коэффициентов регрессии.