Общие принципы описания кинетического поведения биологических систем

1. Кинетическую систему можно характеризовать как совокупность переменных и параметров, выражаемых через измеримые величины, которые в каждый момент времени принимают определенные числовые значения. Параметры - это величины, которые поддерживаются неизменными в течение времени наблюдения над системой; переменные – величины, которые изменяются с течением времени.

В разных биологических системах в качестве переменных могут выступать различные измеряемые величины: в биохимии – концентрации промежуточных соединений, в микробиологии – число микроорганизмов или их суммарная биомасса, в экологии – численность вида и т. д. Параметрами могут быть температура, влажность, рН и т. д.

Если допустить, что в системе имеется n различных компонентов, которые для определенности будут считаться химическими соединениями, претерпевающими метаболические превращения, то каждое i -e соединение из их общего числа n характеризуется значением концентрации , которое может изменяться со временем в результате взаимодействия i -го соединения с любым из остальных (n-1) веществ.

Математической моделью процесса будет система n дифференциальных уравнений:

- неизвестные функции времени, описывающие переменные системы (например, концентрации); - скорости изменения этих переменных; – функции, зависящие от внешних и внутренних параметров системы.

2. Процессы, происходящие в биологических системах, как правило, существенно нелинейны, соответственно нелинейны и модели этих процессов. Так уже скорость простейшего бимолекулярного взаимодействия описывается математически в виде произведения концентраций реагентов.

Методы качественной теории дифференциальных уравнений позволяют выявить важные общие свойства модели, не прибегая к нахождению в явном виде неизвестных функций .

В динамическом отношении процессы метаболизма гетерогенны. В кинетическом отношении это положение находит своё отражение в том, что различные функциональные процессы в биологических системах и подсистемах сильно отличаются друг от друга по характерным скоростям или временам протекающих в них процессов.

В биологических системах осуществляется известный принцип узкого места, согласно которому общая скорость превращения вещества во всей цепи реакций определяется наиболее медленной стадией.

Если отдельные стадии общего процесса обладают характерными временами и наиболее медленная стадия имеет время , такое, что ,то определяющим звеном будет k-e, а общее время процесса практически совпадает со значением этого узкого места.

Именно наличие такой временной иерархии процессов, является объективным свойств системы, позволяет существенно упростить исходную модель, по существу сведя задачу её кинетического описания к изучению поведения наиболее медленной стадии.

Медленное звено – управляющее, поскольку воздействие именно на него, а не на быстрые стадии, может повлиять на скорость протекания всего процесса. Так образом, хотя биологические процессы и включают огромное промежуточных стадий, динамические свойства этих систем регулируются сравнительно небольшим числом отдельных звеньев, а следовательно, их кинематическая модель может содержать и существенно меньшее число уравнений.

Практика математического моделирования показывает, что исследование таких упрощенных систем уравнений может дать более точное представление об общих динамических свойствах системы, чем решение полных моделей, особенно в тех случаях, когда не возникает необходимости точного решения уравнений, но зато требуется предсказать характер динамического поведения системы при изменении условий её функционирования.

3. Основной подход к качественной теории дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы характеризовать состояние системы в целом значениями переменных , которые они принимают в каждый момент времени в процессе изменения в соответствии с системой дифференциальных уравнений. Если отложить на осях прямоугольных координат в n- мерном пространстве значения переменных , то состояние системы будет описываться точкой М в том пространстве с координатами . Точка М называется изображающей точкой.