Выборочная дисперсия (статистическая дисперсия, статистический центральный момент второго порядка)

_{n r}

s² = (1/n) [ ∑ (x_i – x)² ] = (1/n)[ ∑ (x_j – x)² m_j ] для n > 20,

^{i=1 j=1}

_{n r}

и s² = [1/(n-1)] [ ∑ (x_i – x)² ] = [1/(n-1)] [ ∑ (x_j – x)² m_j ] для n ≤ 20,

^{i=1 j=1}

где x_j -срединное значение j – го интервала.

Статистическое среднее и статистическая дисперсия являются важнейшими числовыми характеристиками статистического распределения, так как они определяют основные особенности анализируемого статистического ряда – центр группирования и степень рассеяния наблюдений относительно центра.

Чтобы мера изменчивости была выражена в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина, для характеристики рассеяния принимают также выборочное среднее квадратическое отклонение (выборочное стандартное отклонение, выборочный стандарт)

s = √ s².

2.3.2. Кроме статистического начального момента первого порядка (среднего арифметического) и статистического центрального момента второго порядка (выборочной дисперсии) используют как статистические характеристики – статистический центральный момент третьего порядка и статистический центральный момент четвёртого порядка.

_n

Третий центральный момент μ₃ = (1/n) [ ∑(x_i – x)³ ]

ⁱ⁼¹

характеризует отклонение кривой распределения от симметричной.

Для симметричного распределения (например, нормального) μ = 0.

Кривая распределения с одной вершиной при μ < 0 имеет левостороннюю (отрицательную) асимметрию, а при μ > 0 – правостороннюю(положительную) асимметрию.

Асимметрия определяется как A(x) = μ₃ / s³.

Статистический центральный момент четвёртого порядка _n

μ₄ = (1/n) ∑ (x_i - x)⁴

ⁱ⁼¹

характеризует островершинность (эксцесс) эмпирического распределения.

Для нормального распределения отношение μ₄ / s⁴ = 3, и в качестве

характеристики островершинности принята величина

E(x) = μ₄ / s⁴ – 3, которую называют эксцессом.

При E(x) < 0 кривая более пологая (менее островершинная), чем при нормальном распределении.

При E(x) > 0 кривая распределения более островершинная, чем при нормальном распределении.

2.3.3. Используют также такие характеристики распределения:

- мода – значение случайной величины (наработки), имеющее наибольшую вероятность (значение признака, встречающегося с наибольшей частотой);

- медиана – значение случайной величины, при котором вероятность появления величин x_i, меньших x, равна вероятности появления величин, больших х (значениепризнака, относительно которого эмпирическая совокупность делится на две равные по числу членов части).

Для медианы можно дать и другое определение. Медианой называют квантиль, отвечающую вероятности Р=0,5.

Квантилью, отвечающей вероятности Р, называют то значение х = х_P, при котором функция распределения F(x) равна Р, т.е.

F(x_P) = P(x<x_P) = P.