Пример первичной обработки экспериментальных данных

Определить основные статистические характеристики по данным ресурсных испытаний распределения наработки до предельного состояния тормозных колодок автомобиля ВАЗ–2110. Наработки (варианты) и их частоты представлены в табл.1, то есть уже произведено упорядочивание выборки (ранжирование выборки).

Таблица 1. Исходные данные

x_i, км │ m_i ║ x_i, км │ m_i ║ х_i, км │ m_i

2500 1 26000 10 52000 1

6300 3 28000 4 54500 2

9900 2 31000 7 57000 3

10100 1 33000 6 59000 1

11000 5 35000 7 64000 2

11500 5 38000 2 79500 1

14000 12 41500 3

18500 3 43500 4

22000 5 47500 3

24000 6 49100 1

2.5.1. Определяем число интервалов r и длину интервалов h:

1) число интервалов по правилу Старджеса

r = 1 + 3,3 lg n = 1 + 3,3 100 = 7,6,

где n – объём выборки,

n = ∑ m_i = 100, принимаем r = 8;

ⁱ

2)длина интервала

h = (x_max – x_min) / r = (79500 – 2500) / 8 = 9625 км.,

принимаем длины всех интервалов одинаковыми

h = 10000 км.

2.5.2. В таблице 2 заполняем первые четыре графы

Таблица 2. Расчётные данные

Номер Интервал, Середина Частота, u_i m_i u_i m_i u_i² m_i u_i³ m_i u_i⁴

интер- h_i, км. интервала, m_i

вала х_i, км.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 ÷10000 5000 6 −3 −18 54 −162 486

2 10001÷20000 15000 26 −2 −52 104 −208 416

3 20001÷30000 25000 25 −1 −25 25 −25 25

4 30001÷40000 35000 22 0 0 0 0 0

5 40001÷50000 45000 11 1 11 11 11 11

6 50001÷60000 55000 7 2 14 28 56 112

7 60001÷70000 65000 2 3 6 18 54 162

8 70001÷80000 75000 1 4 4 16 64 256

Суммы → 100 −60 256 −210 1468

2.5.3. Вычисляем начальные и центральные эмпирические моменты.

Для удобства переходим к условным вариантам

u_i = (x_i − C) / h, где С – постоянная величина (условный нуль).

За условный нуль принимают обычно значение х_i с наибольшей частотой, или значение х_i, равноудалённое от краевых значений. Примем С = 35000 км.

Так как интервалы все равны, то h = 10000км. и

u_i = (x_i − 35000) / 10000.

Тогда

u₁ = (5000 − 35000) / 10000 =− 3; u₂ = (15000 − 35000) / 10000 = −2 и т.д.

Все u_i записываем в пятую графу таблицы 2.

Для подготовки вычислений начальных моментов определяем для каждого интервала m_i u_i, m_i u_i², m_i u³_i, m_i u_i⁴ и записываем эти результаты соответственно в шестую, седьмую, восьмую и девятую графу таблицы 2. Вычисляем начальные моменты для условных вариант (условные эмпирические моменты)

a_k = (1/n) (∑ m_i u_i^k), где k – 1, 2, 3, 4;

ⁱ

a₁ = (−60)/100 = −0,6; a₂ =256/100 = 2,56; a₃ =(−210)/100 = −2,10;

a₄ = 1468 /100 = 14,68.

Вычисляем центральные моменты для условных вариан т

μ₂ = a₂ – a₁² = 2,56 – 0,60² = 2,20;

μ₃ = a₃ – 3a₂ a₁ + 2a₁³ = – 2,10 + 3•2,56•0,60 – 2•0,60³ = 2,07;

μ₄ = a₃ – 4 a₃ a₁ + 6 a₂ a₁² – 3 a₁⁴ = 14,68 – 4•2,10•0,60 + 6•2,56•0,60² –

– 3•0,60⁴ = 14,78.

2.5.4. Выполняем обратный переход от условных вариант к действительным и определяем среднее значение наработки тормозных колодок до предельного состояния и среднее квадратическое отклонение наработки тормозных колодок до предельного состояния

x = a₁ h + C = – 0,60•10000 + 35000 = 29000км.;

s = h √ μ₂ =10000 √2,20 = 14800км.

2.5.5. Определяем коэффициент асимметрии A(x) и эксцесс E(x)

A(x) = μ₃ / μ₂^3/2 = 2,07 / (2,20)^3/2 = 0,63;

E(x) = μ₄ / μ₂² – 3 = 14,78 /(2,20)² – 3 = – 0,05.

Так как А(х) > 0, то распределение имеет положительную асимметрию,

то есть вершина кривой сдвинута влево и правая сторона более пологая.

Так как Е(х) < 0, то кривая более пологая, чем при нормальном распределении.

Вывод по ресурсным испытаниям.

Тормозные колодки ресурсные испытания не выдержали (не прошли) из-за низкой средней наработки до предельного состояния и большого значения среднего квадратического отклонения.

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ

ПРИ АНАЛИЗЕ И РАСЧЁТАХ НАДЁЖНОСТИ