Общие замечания

Если выборка (число объектов, подвергающихся испытаниям) растёт, то при этом мы можем от статистических закономерностей перейти к вероятностным, так как при этом

_∞

p_i → p; X → MX; σ² = D →σ² =D; MX = ∫ x f(x) dx

⁰

Выбор (построение) такого теоретического (вероятностного) распределения, которое наилучшим образом воспроизводило бы характерные признаки (особенности) экспериментального ряда, является одной из основных и часто выполняемых задач статистической обработки результатов испытаний.

Такой переход от статистической модели к вероятностному распределению необходим, если необходим прогноз развития ситуации (например, проведены испытания автомобилей до наработки 50000 км, а необходимо сделать прогноз надёжности этих машин при наработке до 100000 км).

Кроме того, переход от статистической модели к вероятностному распределению позволяет использовать статистическую информацию об аналогах при расчёте надёжности проектируемых новых устройств и систем.

C учётом того, что случайная величина в надёжности (наработка, время устранения отказа) положительна, то интегральная функция распределения

_x

имеет вид F(x) = ∫ f(x) dx, (1)

⁰ дифференциальная функция (функции плотности распределения) имеет вид

f(x) = dF(x)/dx, (2)

_∞

при этом должны выполняться условия f(x) ≥ 0; ∫ f(x) dx = 1 (3)

⁰

Площадь под кривой плотности вероятностей над каким-нибудь участком оси абсцисс (оси наработок) представляет собой вероятность попадания случайной величины в этот участок. Поэтому для некоторого значения наработки х₁ площадь под кривой, лежащая слева от точки х₁, определяет

вероятность F(x₁) появления отказов на интервале (0; х₁), а площадь, лежащая справа от х₁, определяет вероятность P(x₁) того, что на том же интервале отказов не будет.

Можно найти различные функции, удовлетворяющие условиям (3).

При выборе функции рассматривают не любые произвольные распределения, а такие, которые однозначно определяются небольшим числом параметров. Обычно предпочтение отдают одно-, двухпараметрическим распределениям. Иногда используют распределение с тремя-четырьмя параметрами. Если из опыта определяется много параметров для одной функции распределения, то, как это эмпирически замечено, любые данные наблюдений можно подогнать под многопараметрический закон распределения, однако, он может быть далёк от физической сути описываемых явлений.

При выборе параметров законов распределения процессов и событий необходимо прежде всего учитывать физическую сущность этих явлений. Хотя в математике и существуют различные критерии (см. критерии согласия в разделе 7 настоящего пособия) проверки соответствия выбранного теоретического распределения и экспериментального распределения, однако, следует иметь в виду, что процедура проверки гипотезы о виде функции распределения по любому из критериев является проверкой на отвержение, а не на принятие гипотезы. Эта процедура даёт возможность получить ответ только одного из двух типов: 1) нет достаточно серьёзных оснований отвергнуть гипотезу; 2) есть достаточно серьёзные основания отвергнуть гипотезу.

При анализе надёжности (времени безотказной работы, времени восстановления, и т. д.) используют различные непрерывные и дискретные распределения: нормальное, экспоненциальное, логарифмически-нормальное, гамма распределение, распределение Вейбулла, хи-квадрат распределение, распределение Рэлея, распределение Рейса, распределение Эрланга, распределение Пуассона, биномиальное, равномерное и др.

Разные условия связи элементов в объекте, физической сущности отказов и особенностей восстановления приводят к различным распределениям.

Ниже приведены основные сведения по наиболее употребительным распределениям, используемым при анализе и расчётах надёжности колёсных и гусеничных машин.

3.2.Нормальное распределение является основным распределением математической статистики. Образуется тогда, когда действует большое число относительно равноправных факторов. В теории надёжности нормальное распределение принимают как распределение наработки отказов элементов вследствие износа и старения (постепенных отказов), когда коэффициент вариации v = s/x не превышает примерно 0,3 – 0,4.

Для нормального распределения:

плотность распределения f(x) = (1/σ√2π)/ exp [- (x – x)² / 2σ² ], (4)

где x = M[x]; σ²= D[x];

функция распределения

_x

F(x) =(1/σ√2π) ∫ exp [ - (x – x)² / 2σ² ] dx (5)

⁰

Вероятность безотказной работы можно определить, воспользовавшись тем свойством, что сумма вероятности отказа и вероятности сохранения работоспособности равна 1, т.е. F(x) + P(x) = 1.

Если имеем кривые вероятности F(x) или P(x), то можно решать различные практические вопросы.

Например, если требуется, чтобы вероятность сохранения работоспособности была не ниже [P(x)], то, воспользовавшись этими кривыми вероятностей, можем определить, что наработка при этом не должна превышать х₁. Для подсчёта вероятности того, что случайная величина, распределённая по нормальному закону, находится в тех или иных пределах, пользуются табулированным интегралом

_t

Ф(t) = (1/√2π) ∫ exp (- t² /2) dt, (6)

где ⁰

t = (x – x)/σ; dt = dx/σ.

Вероятность того, что случайная величина при испытаниях примет значение в пределах от х₁ до х₂:

P (x₁ < x < x₂) = Ф(t₂) – Ф(t₁) = Ф[ (x₂ –x)/σ] – Ф[ (x₁ – x)/σ]. (7)

Табличный интеграл Ф(t) соответствует площади под кривой,заключённой между осью симметрии и ординатой, соответствующей значению t, и определяет вероятность того, что значение случайной величины находится в пределах от 0 до t. Так, например, для х = 3σ и t = 3 из таблиц значений интеграла вероятностей Ф(t) находим, что Ф(3) = 0,49865, т.е. 2Ф(3) = 0,997, и, следовательно, подтверждается, что с вероятностью 0,997 случайная величина лежит в пределах ±3σ.

3.3.Экспоненциальное распределение является распределением времени между независимыми событиями, появляющимися с постоянной интенсивностью. В теории надёжности экспоненциальное распределение описывает распределение внезапных отказов.

При рассмотрении внезапных отказов элементов изделия исходят из того, что каждый такой отказ является следствием случайного неблагоприятного сочетания внешних и внутренних факторов и может не зависеть от состояния элемента (например, отказ из-за прокола шины при наезде на гвоздь мало зависит от того, новая это шина или изношенная).

Экспоненциальное распределение применяют также для описания наработки сложных систем, прошедших период приработки, и для описания времени безотказной работы системы с большим числом последовательно соединённых элементов, если каждый из элементов в отдельности не оказывает большого влияния на отказ системы.

Плотность распределения

f(x) = λ exp (- λx), (8)

где λ – параметр распределения, λ= 1/M[x].

Функция распределения

1 – exp (- λx), x ≥ 0;

F(x) = { (9)

0, х < 0.

Здесь, как и для всех законов распределения при их использовании для описания распределения времени работы до отказа, функция распределения

F(x) = P(X < x) определяет вероятность отказа изделия до наступления наработки х. Вероятность безотказной работы в течение наработки х будет P(x) = 1 – F(x). Подставляя значение F(x), получим (при х = t)

P(t) = exp (- λt) (10)

Математическое ожидание и дисперсия

М[x] = 1/λ; σ² [x] = 1/λ², (11)

Таким образом, математическое ожидание М[x] и среднее квадратическое отклонение σ для экспоненциального закона распределения равны между собой, что является существенным при проверке соответствия экспериментального распределения выбранному теоретическому экспоненциальному распределению.

3.4.Логарифмически – нормальное распределение – это распределениеслучайной величины, логарифм которой распределён по нормальному закону. Применяют, когда значение случайной величины составляет случайную долю ранее наблюдавшегося явления.

В теории надёжности логарифмически – нормальное распределение используют для описания: процессов восстановления; износовых отказов, когда приращение износа пропорционально мгновенному значению износа; наработки при быстром “выгорании” ненадёжных элементов; отказов, появляющихся в результате усталости материала.

Плотность вероятности по этому распределению

1/(σx√2π) exp [ - (ln x – a)² /2σ² ], при х ≥ 0;

f(x) = { (12)

0, при х < 0.

σ > 0; ─ ∞ < a < ∞.

Функция распределения

_х

F(x) = (1/ σ√2π) ∫ (1/x) exp [ - (lnx – a)² /2σ² ] dx.

⁰

Математическое ожидание и дисперсия

M[x] = e ^a+σ/2 ; D[x] =[ exp (2a + σ²)] (exp σ² - 1). (13)

3.5.Гамма-распределение является основным распределением математической статистики для случайных величин, ограниченных с одной стороны (0 ≤ х < ∞). Когда α – целое число, гамма–распределение описывает время, необходимое, для появления ровно α событийпри условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью λ.

Гамма-распределение служит для описания: износовых отказов, отказов вследствие накопления повреждений, наработки системы с резервными элементами, распределения времени восстановления.

При различных параметрах гамма-распределение принимает самые разнообразные формы, что и объясняет его широкое распространение.

Плотность вероятности гамма-распределения

[λ^α/Г(α)] x^α–1 е^–λх, х≥ 0;

f(x) = { (14)

0, х< 0

при λ > 0; α > 0.

Функцию распределения

_х

[λ^α/Г(α)] ∫x^α–1 е^–λх dx, х≥ 0;

F(x) = { ⁰ (15)

0, x< 0

при λ> 0; α> 0 называют неполной гамма-функцией.

Математическое ожидание и дисперсия

M[x] = α/λ; D[x] = α/λ². (16)

При изменении параметра λ форма распределения не изменяется, а меняется только масштаб, при изменении α изменяется форма распределения; таким образом, α – параметр формы, λ – параметр масштаба.

При α < 1 интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует ситуации, когда происходит быстрое «выгорание ненадёжных элементов».

При α > 1 интенсивность отказов возрастает, что характерно для постепенных изнашиваний и старения элементов.

При α = 1 гамма-распределение совпадает с экспоненциальным, при α > 10 гамма-распределение практически совпадает с нормальным распределением.

Если α – произвольное целое положительноечисло, то такое гамма-распределение называют распределением Эрланга.

Если λ = ½, а значение α кратно ½, то гамма-распределение совпадает с распределением ХИ-квадрат (χ² – распределение). Таким образом, распределение ХИ-квадратс однопараметрическое.

Целое число γ = 2α обычно называютчислом степеней свободы. Распределение ХИ-квадрат является одним из критериев проверки согласия эмпирических данных с гипотетической функцией распределения F(x).

3.6. Распределение Вейбулла используют для описания характеристик усталостной прочности металла. В теории надёжности оно является наиболее общим распределением времени безотказной работы элементов, времени работы до предельного состояния машин, для описания распределений сроков службы других различных устройств.

Плотность вероятности распределения Вейбулла

f(t) = b/a (t/a)^b–1 exp [ – (t/a)^b ] (17)

при a> 0; b> 0.

Функция распределения

F(t) = 1 – exp [ – (t/a)^b ]. (18)

Математическое ожидание и дисперсия

M[t] = aK_b; σ[t] = aC_b, (19)

где

К_b = Г(1 + 1/b); C²_b = Г(1 + 2/b) –K²_b.

При b = 1 распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением.