2018-02-14
911
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Краткий курс лекций
Составитель Ю.В.Обрубов
Калуга - 2012
Простейшие дифференциальные уравнения и
Методы их интегрирования.
Опр. Дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестные функции, их аргументы и производные от неизвестных функций по этим аргументам, или дифференциалы неизвестных функций. Д.у. называется обыкновенным, если неизвестные функции зависят только от одной переменной.
(1) F(x,y,y’, …, y(n)) = 0:
(2) Ф(x,y,dy, …,, d(n) y) = 0.
Примеры.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Порядок старшей входящей в уравнение производной определяет порядок уравнения - n.
Любая функция, которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной обращает его в тождество, называется решение этого уравнения. Например, sin(x) есть решение уравнения второго порядка 
. Дифференциальные уравнения имеют бесконечное множество решений, если имеется хотя бы одно. Обычно, при решении ставиться задача нахождения всех его решений. Процесс решения д.у. часто называют интегрирование д.у.. Если же решается конкретная задача (в физике, технике и т.д.) по нахождению решения д.у., то на неизвестную функцию налагаются как правило дополнительные условия. Например, функция должна принимать определенные значения при заданных значениях аргумента. Такие условия называют начальными условиями, а конкретное решение – частным решением д.у..
|
|
|
Совокупность всех частных решений называют общим решением. Отметим, что общее решение д.у. n-го порядка содержит n произвольных констант, т.е. имеет вид:
Для уравнения n-го порядка начальные условия чаще всего задаются следующим образом:
требуется найти решение д.у., которое при заданном значении 
принимает вместе со своими производными вплоть до (n-1) порядка, наперед заданные значения:
при .
Задача о решении д.у., удовлетворяющем начальным условия вида (*) называется задачей Коши.
Для уравнения 1-го порядка задача Коши сводится к поиску решения, которое при принимает значение 
.
