Спектральное разложение непериодических сигналов

Интегральные преобразования Фурье. Для спек­трального представления непериодических (импульсных) сигна­лов u(t), заданных на конечном интервале (t₁, t₂) (рис. 2.8), не­посредственно воспользоваться рядом Фурье нельзя. Импульс­ный сигнал не является периодическим. Но и в этом случае для гармонического разложения сигнала можно применить следую­щую процедуру.

Сначала дополнить импульсный сигнал до периодического с любым периодом Т, включающим в себя промежуток (t₁, t₂), по­лученный при этом периодический сигнал u_nер(t) представить в виде ряда Фурье. Затем произвести предельный переход от u_nер(t) к u(t), устремляя Т к бесконечности.

При таком предельном переходе основная частота сигнала w₁=2p/T стремится к нулю, бесконечно увеличивается число спек­тральных составляющих, частоты соседних гармоник и (n+1)w₁ окажутся такими сколь угодно близкими, что спектр бу­дет сплошным. Для вычисления спектра наиболее удобна сим­метричная комплексная форма ряда Фурье (2.8), но в нем вместо

Рис. 2.8 импульсный сигнал u(t)и его периодическое продолжение u_nер(t+1)

суммы будет интеграл с бесконечными пределами. Тогда фор­мулы (2.8) и (2.9) перепишутся в видe

u(t)= (2.10)

где

F(w)= (2.11)

Формулы (2.10) и (2.11) называются соответственно обратным и прямым преобразованиями Фурье. Они дают фундаментальную взаимосвязь между сигналом u(t) и его комплексной спектраль­ной плотностью F(w)

Свойства комплексной спектральной плотно­сти. По аналогии с комплексными коэффициентами ряда Фурье (2.9) комплексная спектральная плотность

F(w)=F(w)e^-jy(w)

где F(w)—модуль F(w), который называют спектральной плот­ностью амплитуд, или амплитудным спектром: y(w)— аргумент F(w), называемый фазовым спектром непериодического сигнала.

По определению модуля и аргумента F(w) —четная функция частоты, y(w)— нечетная функция. Некоторые другие свойства

комплексной спектральной плотности F_(w) приведены в табл. 2.2. Их доказательство можно найти в любо учебнике по теории цепей.

Физический смысл спектральной плотности амплитуд. Из сравнения выражений (2.11) и (2.9) следует, что амплитуда n-й гармоники

A_mn=(2/T)F(w)=2f₁F(w), (2.12)

т. е. спектральная плотность амплитуд непериодического сигна­ла u(t) и огибающая линейного спектра периодической последо вательности, полученной путем повторения заданного сигнала и(t) совпадают по форме и отличаются только масштабом.

Таблица. 2.2 Свойства комплексной спектральнойплотности

•

Если в (2.12) осуществить предельный переход, устремляя Т, к бесконечности, то получим

F(w)=

Таким образом, спектральная плотность амплитуд F(w) непе­риодического сигнала на любой частоте <о равна суммарной ам­плитуде спектральных составляющих, попадающих в малую по-лосу Dw в окрестности частоты ш, пересчитанной к полосе 1 Гц.

Пример 2.4. Нaйти спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса iiii, четного относительно t=0, длительность которого t, амплитуда U_m. Аналитическое выражение для заданного прямоугольного видеоимпульса можно записать так:

u_B(t)=

Спектральную плотность импульса находим по (2.11)

F_B(w)=U_m

Это выражение sina= (e^ja-e^-ja)/2jс учетом формулы Эйлера можно перепи-

сать в виде

F_B(w)=U_mt_U

Отсюдаследует, что спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса, четного относительно t=0, вещественная и ее амплитудный и фазовый спектры равны соответственно:

F_B(w)=U_mt_и ; y_B(w)= (2.13.)

Рассчитанные по формулам (2.13) амплитуды и фазовые спектры прямо­угольного видеоимпульса изображены на рис. 2.9.

Следует отметить, что нули амплитудного спектра определяются длитель­ностью импульса. При удлинении (растягивании) импульса расстояние между нулями F_B(w) сокращается, что равносильно сужению спектра. При укорочении (сжатии) импульса, наоборот, расстояние между нулями функции увеличивается, спектр расширяется.

Расчеты спектральной плотности F(w)для большинства используемых в настоящее время импульсных сигналов приведены и математических справочниках и в специальной литературе по

теории сигналов и цепей. Как и в случае ряда Фурье, обычно на­ций интерес представляет амплитудный спектр. Примеры Спектровдля некоторых сигналов даны в табл. П.З.

Для чего необходимо знать спектр? Спектральные характери­стики и технике электросвязи играют огромную роль. Зная спектр сигнала, можно, например, правильно расчитать и установить полосу пропускания усилителей, фильт­ров, кабелей и других узлов каналов связи.

Знание спектров сигналов необ­ходимо для построения многоканаль­ных систем с частотным разделением. Изучение тонкой структуры спектра телевизионного сигнала позволило со­здателям совместимых систем цветно-' го телевидения сигнал яркости допол­нить сигналом о цвете передаваемого изображения без расширения спектра. Без знания спектра помехи трудно принять меры для ее подавления. Спектральный метод является одним из основных при расчетах линейных электрических цепей.

Сказанное можно подытожить так: спектр надо знать для осуществления неискаженной передачи сигнала по каналу связи, для обеспечения разделения сигналов и ослабления помех.

Иногда возникает вопрос: спектр сигнала — это физическая ре­альность или абстракция — результат математического преобра­зования? Коротко можно ответить так. Если существует реаль­ный сигнал, то существуют и те элементарные гармонические со­ставляющие, сумма которых и дает реальный сигнал. Экспери­ментально в этом можно убедиться с помощью специальных при­боров— анализаторов спектра. Они позволяют наблюдать и из­мерять параметры отдельных составляющих спектра периодиче­ского сигнала, а также измерять спектральную плотность непрерывного сигнала.

Рис. 2.9. Прямоугольный видеоимпульс и ere спектральные диаграммы