Однородные координаты плоскости. Аффинные преобразования на плоскости

Пусть М - произвольная точка плоскости с координатами х и у, вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы. Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно неравных нулю чисел х₁, х₂, х₃, связанных с заданными числами х и у следующими соотношениями:

При решении задач компьютерной графики однородные координаты обычно вводятся так: произвольной точке М (х, у) плоскости ставится в соответствие точка Мэ (х, у, 1) в пространстве (рис. 8).

Рис. 8

Заметим, что произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку 0(0, 0, 0), с точкой Мэ (х, у, 1), может быть задана тройкой чисел вида (hx, hy, h).

Будем считать, что h ¹ 0.

Вектор с координатами hx, hy, является направляющим вектором прямой, соединяющей точки 0 (0, 0, 0) и Мэ (х, у, 1). Эта прямая пересекает плоскость z = 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно определяет точку (х, у) координатной плоскости ху.

Тем самым между произвольной точкой с координатами (х, у) и множеством троек чисел вида

(hx, hy, h), h ¹ 0,

устанавливается (взаимно однозначное) соответствие, позволяющее считать числа hx, hy, h новыми координатами этой точки.