Широко используемые в проективной геометрии однородные координаты позволяют эффективно описывать так называемые несобственные элементы (по существу те, которыми проективная плоскость отличается от привычной нам евклидовой плоскости). Более подробно о новых возможностях, предоставляемых введенными однородными координатами, говорится в четвертом разделе этой главы.
В проективной геометрии для однородных координат, принято следующее обозначение:
х: у: 1, или, более обще, x1: х2: х3
(напомним, что здесь непременно требуется, чтобы числа х1, х2, х3 одновременно, в нуль не обращались).
Применение однородных координат оказывается удобным уже при решении простейших задач.
Рассмотрим, например, вопросы, связанные с изменением масштаба. Если устройство отображения работает только с целыми числами (или если необходимо работать только с целыми числами), то для произвольного значения h (например, h = 1) точку с однородными координатами
(0.5 0.1 2.5)
представить нельзя. Однако при разумном выборе h можно добиться того, чтобы координаты этой точки были целыми числами. В частности, при h = 10 для рассматриваемого примера имеем
|
|
(5, 1, 25).
Рассмотрим другой случай. Чтобы результаты преобразования не приводили к арифметическому переполнению, для точки с координатами (80000 40000 1000) можно взять, например, h=0,001. В результате получим (80 40 1).
Приведенные примеры показывают полезность использования однородных координат при проведении расчетов. Однако основной целью введения однородных координат в компьютерной графике является их несомненное удобство в применении к геометрическим преобразованиям.
При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости.
В самом деле, считая h = 1, сравним две записи: помеченную символом * и нижеследующую, матричную:
Нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоящих в правой части последнего соотношения, мы получим обе формулы (*) и верное числовое равенство 1=1.
Тем самым сравниваемые записи можно считать равносильными.