Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Предел функции при , где - число, равен бесконечности, если для любого числа существует такое число , что неравенство: выполняется при всех , удовлетворяющих условию: .

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие на то получим:

а если заменить на то

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

a x a x a x

Функция называется бесконечно большой при , где – число или одна из величин , или , если , где – число или одна из величин , или .

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема 9. Если при (или ) и не обращается в ноль, то

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть – бесконечно малые функции при . Будем обозначать эти функции соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция стремится к нулю быстрее, чем функция

Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция .

Если , то называются бесконечно малыми одного порядка.

Если то функции называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают ~ .

Пример 19. Сравним бесконечно малые при функции и

т.е. функция – бесконечно малая более высокого порядка, чем

Бесконечно малая функция называется бесконечно малой порядка относительно бесконечно малой функции , если предел конечен и отличен от нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.

Пример 20. Если , то при , т.е. функция - бесконечно малая порядка 2 относительно функции .

Пример 21. Если , то при не существует, т.е. функция не сравнимы.

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1) ~ ,

2) если ~ и ~ , то ~ ,

3) если ~ , то ~ ,

4) если ~ и ~ и , то и или .

Следствие: а) если ~ и , то и

б) если ~ и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может существенно упростить вычисление пределов.

Пример 22. Найти предел

Так как ~ и ~ при , то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Пример 23. Найти предел .

Так как при , то .

Пример 24. Найти предел

Если - бесконечно малые при , причем - бесконечно малая более высокого порядка, чем , то - бесконечно малая, эквивалентная . Это можно доказать следующим равенством .

Тогда говорят, что - главная часть бесконечно малой функции .

Пример 25. Функция – бесконечно малая при , – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем , , тогда .

1.4. Односторонние пределы. Асимптоты.

Если при только при , то - называется пределом функции в точке слева, а если при только при , то называется пределом функции в точке справа.

f(x)

А₂

А₁

0 a x

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция не определена в самой точке , но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы и называются также односторонними пределами функции в точке . Также говорят, что – конечный предел функции .

Односторонние бесконечные пределы и пределы на бесконечности применяются при нахождении асимптот графиков функций.

Будем различать вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая называется вертикальной асимптотой, если справедливо одно из четырех равенств:

(1)

При построении графиков функций полезно представлять, как изображаются данные пределы. Из существования пределов (1) следует, что при график функции приближается к вертикальной прямой . Схематично изобразим все четыре предела.