Понятие производной функции

В параграфе 1 шла речь о мгновенной скорости движения и о мгновенной силе тока. Введение этих понятий происходило с помощью некоторого предела. Можно привести еще не мало задач, для которых также необходимо находить скорость изменения некоторой функции, например нахождение теплоемкости тела при нагревании, угловой скорости вращающегося тела и др.

I Рассмотрим функцию f(x), xÎ[a;b]

Возьмем произвольную точку . Тогда для любого разность называется приращением аргумента в точке и обозначается , то есть . Разность называется приращением функции в точке и обозначается (или , или ), то есть

.

Рис. 2

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует, то есть

.

Производная функции в точках обозначается: или (читается: «эф штрих от икс 0» или «игрек штрих»).

Итак, по определению получим, что

.

Часто для обозначения производной используется символ или (читается «де эф по де икс» или «де игрек по де икс»).

Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием.

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале.