Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

II Геометрический смысл производной




Пусть кривая является графиком непрерывной функции (рис. 8)

Рис. 8

На кривой рассмотрим точки и и проведем секущую . Очевидно, если – это ее угловой коэффициент, то из мы видим, что он равен: .

Пусть теперь , то есть абсцисса точки приближается к абсциссе точки и, следовательно, точка стремится к точке , оставаясь на кривой . При этих условиях секущая меняет свое положение, вращаясь вокруг точки , то есть изменяется угол .

Если функция дифференцируема в точке , то , и следовательно, существует прямая , являющаяся предельным положением секущей , при приближении точки по кривой к точки . Эта прямая, как известно, будет касательной к кривой в точке . Таким образом, если функция дифференцируема в точке , то ее график имеет касательную в точке , угловой коэффициент которой равен , (так как , то ).

Сказанное позволяет дать следующее геометрическое истолкование производной:

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке , то есть .

Примеры: 1. В какой точке касательная к кривой

1) параллельна оси ;

2) образует с осью угол в 45o?

Решение:

1) Так как касательная параллельна оси , то она образует с ней угол и ее угловой коэффициент в точке касания равен нулю, так как . Воспользуемся геометрическим смыслом производной и составим уравнение: .

Найдем производную функции : .

Тогда , откуда .

Итак, касательная к данной кривой параллельна оси в точке (0;-1)

2) Так как касательная образует с осью угол в 45о, то ее угловой коэффициент равен 1, так как . Ранее мы нашли производную функции в любой ее точке: . Найдем значение аргумента, при котором эта производная равна 1, то есть решим уравнение :

, откуда . Итак, касательная к данной кривой составляет с осью в точке .

2. Найти угловой коэффициент касательной, приведенной к кривой в точке .

Решение:

Найдем производную функции , получим . По условию

Итак, угловой коэффициент касательной кривой в точке равен -4;





Дата добавления: 2015-05-30; просмотров: 906; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 9852 - | 7418 - или читать все...

Читайте также:

 

18.206.194.83 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.003 сек.