Производную от данной функции принято еще называть первой производной или производной первого порядка. Очевидно, что производная также является функцией, и если она дифференцируема, то от нее также можно взять производную.
Производную от производной первого порядка называют второй производной или производной второго порядка и обозначают , .
Пример: Найти вторую производную следующих функций:
Решение:
1) Найдем первую производную:
. Теперь найдем вторую производную
2) ;
3)
.
Далее рассмотрим механический (физический) смысл второй производной:
Пусть тело движется по закону и его скорость в данный момент времени равна производной пути по времени, то есть , тогда ускорение прямолинейного движения тела в данный момент времени равно второй производной пути по времени или первой производной скорости по времени, то есть .
Примеры
1) Точка движется прямолинейно по закону . Найти ускорение точки в момент .
Решение: Найдем скорость данной точки. Для этого найдем производную от пути: . Теперь найдем ускорение, для этого найдем вторую производную от пути:
|
|
.
Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения , значит движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением, то есть .
2) Закон движения тела определяется уравнением . Каково ускорение тела в момент, когда его скорость равна 11 м/с?
Решение: Найдем ускорение тела в любой момент времени, для этого найдем вторую производную от пути:
Далее решим уравнение и найдем нужный нам момент времени: . Теперь найдем ускорение тела в момент : .
Упражнения
I Найти ускорение точки в указанные моменты времени , если скорость точки, движущейся прямолинейно, определяется законом:
1)
2)
3)
II Найти скорость и ускорение точки в указанные моменты времени , движущейся прямолинейно по закону:
1)
2)
3)
III Найти момент времени , в который ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону , равно нулю. Какова при этом скорость точки?
IV Тело массы m движется по закону . Доказать, что сила, действующая на точку, постоянна.
V Найти интервалы монотонности функций:
1) ; | 2) ; |
3) ; | 4) ; |
5) ; | 6) ; |
7) ; | 8) ; |