V Производные обратных тригонометрических функций

1Найдем производную функции , согласно определению арксинуса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу x, учитывая, что – сложная функция, так как y зависит от x. Получим:

так как , а по условию , поэтому выбираем положительное значение, то (так как , по условию) , то есть

. (10)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции и получим, что:

. (10’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

2Найдем производную функции . Из определения арккосинуса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу , учитывая, что – сложная функция, так как y зависит от .

так как , и по условию , поэтому выбираем положительное значение ,и подставляя вместо получим: , то есть

. (11)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции и получим, что

. (11’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

3 Далее найдем производную функции . Из определения арктангенса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу x, учитывая, что – сложная функция, так как зависит от .

Далее выразив из соотношения , получим , а так как , а , то

. (12)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции имеем:

. (12’)

4 Теперь найдем производную функции . Из определения арккотангенса имеем . Продифференцируем данное равенство по аргументу , учитывая, что – сложная функция, так как зависит от

Далее выразив из соотношения , получим , а так как , а , то

. (13)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции имеем:

. (13’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

Упражнения: Найти производные следующих функций:

Теперь все доказанные нами формулы занесем в таблицу.

Таблица производных

1
2
3 ;
4 ;
5 ; Для простых функций	Для сложных функций
6 ;	1
7	2
8	3
9	4
10	5
11	6
12	7
13	8
14	9
15	10
16	11
17	12
18	13