double arrow

V Производные обратных тригонометрических функций

1Найдем производную функции , согласно определению арксинуса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу x, учитывая, что – сложная функция, так как y зависит от x. Получим:

так как , а по условию , поэтому выбираем положительное значение, то (так как , по условию) , то есть

. (10)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции и получим, что:

. (10’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

2Найдем производную функции . Из определения арккосинуса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу , учитывая, что – сложная функция, так как y зависит от .

так как , и по условию , поэтому выбираем положительное значение ,и подставляя вместо получим: , то есть

. (11)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции и получим, что

. (11’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

3 Далее найдем производную функции . Из определения арктангенса имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу x, учитывая, что – сложная функция, так как зависит от .

Далее выразив из соотношения , получим , а так как , а , то

. (12)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции имеем:

. (12’)

4 Теперь найдем производную функции . Из определения арккотангенса имеем . Продифференцируем данное равенство по аргументу , учитывая, что – сложная функция, так как зависит от




Далее выразив из соотношения , получим , а так как , а , то

. (13)

Для функции , используя правило дифференцирования сложной функции имеем:

. (13’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

Упражнения: Найти производные следующих функций:

Теперь все доказанные нами формулы занесем в таблицу.


Таблица производных

1  
2  
3 ;  
4 ;  
5 ; Для простых функций   Для сложных функций
6 ; 1
7 2
8 3
9 4
10 5
11 6
12 7
13 8
14 9
15 10
16 11
17 12
18 13






Сейчас читают про: