Естественный трехгранник, естественные оси координат. Алгебраическая скорость точки и ее физический смысл

Скорость точки в естественных координатах. Движение точки будет задано в естественной форме, если известна ее траектория и закон (или уравнение) движения по траектории SM = f (t), где SM – дуговая координата точки (рис. 2.5), заданная как функция времени. Точка О – начало дуговых координат.

Направим ось Мτ(касательную к траектории в положении М) в сторонуувеличениядуговыхкоординат. Единичный вектор (орт) этой оси обозначим Т0. Так как вектор скорости точки направлен тоже по касательной ктраекториивданномместеМ, то _____________ Проведем из неподвижной точки О1радиус-вектор точки М – rM_______________________ Величина ________________ может быть положительной (если движение происходит в сторону увеличения дуговых координат в положительном направлениипотраектории), отрицательной или равной нулю. Ее называют алгебраической скоростью точки (в отличие от вектора VM и его модуля |VM |= VM). Выясним, как можно вычислить алгебраическую скорость точки. Применяяформулуполучим _________________________где ___________ единичныйорткасательной. Сравнивая это выражение с уравнением делаем вывод, что алгебраическая скорость точки (проекция вектора скорости на направление касательной к траектории) равна первой производной по времени от дуговой координаты точки: ____________________ Скорость точки при естественном способе задания движения находится дифференцированием по времени закона движения точки по траектории. Проведем через Мτ касательную плоскость. Вращая ее вокруг Мτ, можно получить сколько угодно плоскостей, касающихся кривой в точке М. Среди этих плоскостей найдутся такие, к которым кривая как бы прилегает наибольшим или наименьшим числом своих точек. Эти плоскости называются соприкасающейся и спрямляющей. Наименование последней происходит от того, что если заставить кривую касаться этой плоскости большим числом своих точек, то кривая начнет спрямляться. Эти три характерные плоскости, которые можно провести в точке М, между собой взаимно перпендикулярны и образуют так называемый естественный трехгранник.

Линии пересечения этих плоскостей образуют так называемую естественную систему координат. Оси этой системы называются касательной – Мτ, главной нормалью – М n и бинормалью – Мв. При этом Мτ получается пересечением соприкасающейся и спрямляющей плоскостей; М n – пересечением нормальной и соприкасающейся плоскостей; Мв – пересечением нормальной и спрямляющей плоскостей. Положительное направление осей выбирают следующим образом: Мτ – в сторону увеличениядуговой координаты;

М n – в сторону вогнутости кривой, к центру ее кривизны;

Мв – так, чтобы получилась праваясистемакоординат ПридвиженииточкиМпотраектории вместе с ней перемещается и связанная с ней естественная система координат, направление осей которых непрерывно изменяется в пространстве.