Определение и пример кольца и алгебры. Определение и примеры мер на кольце

Определение.
Пусть задано некоторое непустое множество Х. Непустое семейство называется кольцом, если оно обладает тем свойством, что из А K и В K следует А В K, А È В K.

Определение.
Кольцо K называется алгеброй, если Х K. Х в этом случае называется единицей кольца. Примеры:

1) Для любого множества X система P(X) всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств.

2) На числовой прямой R система его конечных и счетных подмножеств представляет собой кольцо, но не алгебру.

Определение.
Пусть на некотором множестве Х задано полукольцо S Р (Х). Будем говорить, что на S задана мера, если каждому элементу А S поставлено в соответствие вещественное число m (A) R таким образом, что выполнены следующие условия: