Границы числовых множеств

Пусть имеем числовое множество А.

Определение. Множество А называется ограниченным сверху, если существует такое число , что . Число верхняя грань множества А. Очевидно, что если верхняя грань, то любое число также является верхней гранью. Наименьшая из верхних граней – точная верхняя грань, которая обозначается:

Определение. Множество А называется неограниченным сверху, если существует

Определение. Множество А называется ограниченным снизу, если существует такое число , что . Число нижняя грань множества А. Очевидно, что если нижняя грань, то любое число также является нижней гранью. Наибольшая из нижних граней – точная нижняя грань, которая обозначается:

Определение. Множество А неограниченно снизу, если

для существует

Определение. Множество А называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Возникает вопрос: всегда ли для ограниченных множеств существуют и На этот вопрос отвечает следующая теорема:

Теорема Дедекинда. Любое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань, т.е. существует наименьший элемент среди верхних граней; и любое ограниченное снизу числовое множество имеет точную нижнюю грань, т.е. существует наибольший элемент среди нижних граней.

Например: для множества существуют и , также существует , который совпадает (), но не существует .

Если в множестве А существует максимальный элемент, то совпадает с максимумом. Если в множестве А существует минимальный элемент, то совпадает с минимумом.

1) верхняя грань, ;

2) что

1) нижняя грань, ;

2) что

Утверждения 1) свидетельствуют о том, что и являются одной из верхних и нижних граней.

Утверждения 2) свидетельствуют о том, что эта грань является наименьшей и наибольшей соответственно и уменьшена (увеличена) соответственно быть не может.