2015-05-22
387
Арифметические операции с комплексными числами мало отличаются от операций с обычными алгебраическими двучленами. Нужно твердо соблюдать два правила:
1. Преобразовывать степени числа i так, как описано выше в п. 8.1.
2. Окончательный результат любой операции должен строго записываться в виде a + bi, т.е. на первом месте - действительная часть, на втором - мнимая. Выноса общего множителя при этом не допускается.
Исходя из этих правил, рассмотрим схемы основных операций. Пусть имеем
z1 = a + bi и z2 = c + di. Тогда:
1. Сложение: z1 + z2 = a + bi + c + di = (a+ c) + (b + d)i.
2. Вычитание: z1 - z2 = a + bi – c - di = (a - c)+ (b - d)i.
3. Умножение: z1·z2 = (a + bi)·(c + di) = ac + adi + cbi + bdi2 =
= ac + adi + cbi - bd = (ac - bd) + (ad + cb)i.
4. Деление. В отличие от обычной алгебры, надо соблюсти правило 2. Избавимся от знаменателя, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю комплексное число и используя известную формулу a2 - b2 = (a + b)(a - b):
5. Возведение в степень: z1 2 = (a + bi)2 = a2 + 2abi + b2i2 = (a2 - b2) + 2abi.
6. Извлечение корня. Так как результат должен соответствовать правилу 2, то для, например, 
положим 
, где х и у - неизвестные. Возведем в квадрат:
a + bi = x2 + 2xyi + y2i2 или a + bi = (x2 - y2) + 2xyi.
По теореме о равенстве комплексных чисел получим систему уравнений:
, откуда и находим ответы ()1 = x1 + y1i и ()2 = x2 + y2i.
