Уравнения характеристик и общие интегралы

Т е м а. Классификация уравнений с частными производными второго порядка. Преобразование уравнений. Уравнения характеристик и общие интегралы. Канонический вид гиперболических, параболических и эллиптических уравнений

Л е к ц и и 3 - 4.

Общий вид уравнений с частными производными второго порядка можно записать в виде соотношений между независимыми переменными, искомой функцией и ее частными производными первого и второго порядков:

.

Очень часто эти уравнения являются линейными относительно старших производных – производных второго порядка, то есть, имеют вид:

где коэффициенты при старших производных являются функциями только независимых переменных . Если коэффициенты зависят не только от , а являются, подобно F, функциями , то такое уравнение называется квазилинейным. Если функция линейна относительно аргументов , то уравнение называется линейным. Линейные уравнения имеют вид:

, (1)

где коэффициенты , c являются функциями только независимых переменных . Если , то уравнение (1) называется линейным однородным, в противном случае - неоднородным. Если коэффициенты , c постоянны, уравнение (1) называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Все многообразие уравнений линейных относительно старших производных может быть разделено на три класса (типа). В каждом классе есть простейшие уравнения, которые называют каноническими. Решения уравнений одного и того же типа (класса) имеют много общих свойств.

Принадлежность уравнения к тому или иному классу (типу) – классификация уравнений – определяется коэффициентами при старших производных. Мы проведем классификацию прежде всего для уравнений, в которых искомая функция u зависит лишь от двух переменных: u = u (x, y). В этом случае уравнения, линейные относительно старших производных, можно записать в виде:

, (2)

где являются функциями x и y. А линейные уравнения – в виде:

, (3)

где , - функции только от x и y. Любое такое уравнение (2) и (3) с помощью замены независимых переменных может быть приведено к более простому – каноническому виду.

При помощи замены переменных

, , (4)

где , - дифференцируемые функции, преобразуем исходные уравнения к наиболее простому виду. Вычислим частные производные

, ,

, (5)

,

.

Подставляя значения производных из (5) в уравнение (2), будем иметь

, (5а)

где

,

, (6)

.

Заметим, что если уравнение линейно, то

,

где

,

.

Непосредственной проверкой устанавливаем справедливость тождества

. (7)

Обозначим через - дискриминант исходного уравнения в частных производных второго порядка. Из этого тождества следует, что знаки дискриминанта исходного и преобразованного уравнения одинаковые.

Теперь мы можем принять следующую классификацию уравнений вида (2).

Если в некоторой области D дискриминант положителен, , то уравнение (2) называется гиперболическим в D (гиперболического типа в D).

Если во всех точках области D, то уравнение (2) называется параболическим в D (параболического типа в D).

Если в области D, то уравнение (2) называется эллиптическим в D (эллиптического типа в D).

Из тождества (7) следует, что при замене независимых переменных по формулам (4) тип уравнения (2) не изменяется.

Приведем уравнение (2) к каноническому виду. Для каждого типа уравнения существует своя каноническая форма.

Рассмотрим теперь задачу преобразования исходного уравнения в частных производных к более простому виду, например, преобразуем так, чтобы в преобразованном уравнении коэффициенты в области оказались равными нулю, то есть

=0

=0.

Представим эти уравнения в виде:

,

.

Разрешив их относительно и , получим:

и , (8)

где . Квадратные уравнения имеют одинаковые коэффициенты, следовательно, будут иметь одинаковые корни. Обозначим эти корни как

и .

В этих выражениях предполагается, что . Если это условие не выполнено, то уравнения будут линейными, и будут иметь простые решения. Решения квадратных уравнений можно записать в виде

, . (9)

Докажем, что система уравнений в частных производных (10) эквивалентна системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

и . (10)

В самом деле, пусть функции и есть общие интегралы уравнений (10), то есть, постоянны вдоль решения этой системы.

Тогда полное приращение этих функций вдоль решения будет равен нулю:

, .

Откуда получим

, .

В силу равенств (10) получим

, .

Преобразуя эти равенства, получим , . То есть, все решения системы (10) являются также решениями системы (9). Можно доказать, что верно и обратное утверждение. Следовательно, системы (9) и (10) эквивалентны.

Общие интегралы уравнений (10) и образуют два семейства кривых, называемых характеристиками уравнения (3). Уравнения (10) называются дифференциальными уравнениями характеристик.