Классы эквивалентности равномощных множеств

Введенное в 1.4.1 отношение равномощности является отношением эквивалентности «º». В самом деле, оно рефлексивно: для каждого множества Х справедливо (Х равномощно Х), так как существует тождественное отображение множества Х на множество Х. Это отношение симметрично: если существует биекция X на Y, то обратное отображение также является биекцией (если , то ). Отношение транзитивно: если существует биекция и существует биекция , то соответствие отображает X на Z биективно (если и , то ).

По свойству отношения эквивалентности получаем разбиение всех множеств на непересекающиеся классы равномощных множеств. Каждому классу присвоим название - кардинальное число. Таким образом, кардинальное число – это то общее, что есть у всех равномощных множеств. Обозначим кардинальное число множества или ½ Х ½. Пустое множество имеет кардинальное число Æ =0; для всех конечных множеств кардинальное число совпадает с количеством элементов множества; а для обозначения кардинального числа бесконечных множеств используется буква À (алеф). Понятие кардинального числа (мощности множества) обобщает понятие «количество элементов «на бесконечные множества.