Свойства конечных множеств

Множество X называется конечным, если существует биекция , т.е. множество X можно взаимно однозначно отобразить на отрезок натурального ряда {1, 2, …, n }; при этом ½ X ½= n.

Все множества, для которых такую биекцию установить невозможно, будем называть бесконечными.

Пустое множество принято относить к конечным множествам и обозначать ½Æ½=0.

Сформулируем свойства конечных множеств в виде теорем.

Теорема 1 (правило суммы). Пусть множество X является объединением r непересекающихся конечных множеств . Тогда .

Согласно условию теоремы система множеств является разбиением множества X.

Теорема 2 (правило произведения). Пусть конечное множество X представлено в виде декартова произведения r конечных множеств . Тогда .

Теорема 3 (о мощности булеана конечного множества). Пусть множество X конечно и . Тогда .

Напомним, что B (X) есть булеан множества X, т.е. множество всех подмножеств множества X.

Теорема 4 (правило включения – исключения). Пусть и конечные множества. Тогда .

Теорема 5 (обобщенное правило включения – исключения). Пусть конечное множество X является объединением r конечных множеств: . Тогда