Сравнение множеств по мощности

Расположим классы эквивалентности равномощных множеств в порядке возрастания кардинальных чисел: .

Для конечных множеств это не вызывает затруднений: означает для конечных множеств, что количество элементов множества X меньше количества элементов множества Y, и класс ½ X ½ расположен левее класса ½ Y ½ в последовательности классов равномощных множеств. А что означает неравенство ½ X ½<½ Y ½ для бесконечных множеств? Договоримся о следующих обозначениях:

1) ½ X ½=½ Y ½- множества X и Y попадают в один класс эквивалентности;

2) ½ X ½<½ Y ½- в ряду кардинальных чисел класс эквивалентности множества X находится левее класса эквивалентности Y;

3) ½ X ½>½ Y ½- класс эквивалентности множества X находится правее класса эквивалентности множества Y;

В теории множеств строго доказано, что случай, когда множества X и Y несравнимы по мощности, невозможен – это означает, что классы равномощных множеств можно вытянуть в цепочку без разветвлений по возрастанию мощности.

Следующая теорема позволяет устанавливать равномощность бесконечных множеств.

Теорема Кантора-Бернштейна. Пусть X и Y два бесконечных множества. Если во множестве X есть подмножество, равномощное множеству Y, а во множестве Y есть подмножество, равномощное X, то множества X и Y равномощны.

Пример. Пусть . Покажем, что ½ X ½=½ Y ½. Непосредственно биекцию X на Y построить трудно, т.к. X – отрезок с включенными концами, а Y – открытый интервал.

Применим теорему Кантора–Бернштейна. Возьмем в качестве подмножества множества X открытый интервал: . Биекция на Y устанавливается, например, по закону (рис. 3), осуществляется взаимно однозначное отображение интервала (0;1) на интервал .

В качестве подмножества возьмем любой замкнутый интервал из Y, например, . В 1.4.1 уже показано, что ½[1;3]½=½[0;1]½ (существует биекция ). Таким образом, условия теоремы Кантора–Бернштейна выполняются, следовательно, множества и равномощны (½ X ½=½ Y ½).