Несчетные множества

Рассмотрим множество R. Сравним его с множеством N. Очевидно, что ½ N ½. Действительно, отрезок [0;1] содержит счетное подмножество , значит, является не менее, чем счетным. Покажем, что [0;1] и N не являются равномощными множествами, т.е. что .

Теорема. Множество точек отрезка [0;1] не является счетным.

Проведем доказательство методом «от противного». Предположим, что множество [0;1] счетно, т.е. существует биекция N на [0;1], и каждому элементу отрезка можно присвоить номер: N }. Каждый элемент отрезка [0;1] представляется в виде бесконечной десятичной дроби , где – j -я десятичная цифра i -го элемента. Запишем все элементы N, в порядке возрастания номеров. Покажем, что найдется элемент b, принадлежащий отрезку [0;1], но не совпадающий ни с одним из занумерованных элементов N. Метод построения такого элемента называется диагональной процедурой Кантора и заключается в следующем. Будем строить элемент b в виде бесконечной десятичной дроби , где – i -я десятичная цифра. В качестве возьмем любую цифру, не совпадающую с , – любую цифру, не совпадающую с , и т.д., при любых N (рис. 6). Построенный таким образом элемент b принадлежит отрезку[0;1], но отличается от каждого из занумерованных элементов хотя бы одной цифрой. Следовательно, предположение о том, что существует биекция N ® [0;1]ошибочно, и множество [0;1] не является счетным.

Рисунок 6- Диагональная процедура Кантора

Итак, мы показали, что ½[0;1]½>½ N ½, т.е. класс эквивалентности, которому принадлежит отрезок [0;1], расположен правее класса À₀ счетных множеств в ряду мощностей (рис. 5). Обозначим этот класс À (без индекса). Множества, принадлежащие этому классу, называются несчетными или множествами мощности континуум (континуум – непрерывный). Этому классу принадлежат и интервал (0;1), и множество R действительных чисел, и множество точек круга на плоскости.

Пример. Множество R имеет мощность континуума, т.к. равномощно отрезку [0;1]. Действительно, по теореме Кантора-Бернштейна (см. 1.4.3) ½[0;1]½= ½(0;1)½. Биекцию интервала (0;1)на множество R можно задать с помощью сложной функции , где имеет вид и отображает интервал (0;1)на интервал , а отображает интервал на R по закону .