Тема 2. Теоремы сложения умножения

1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

2. Полная группа событий.

3. Противоположные события.

4. Произведение событий.

5. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

6. Независимые события.

7. Формула полной вероятности.

8. Формулы Байеса.

9. Формула Бернулли.

10. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Примерные практические задания:

1. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) на обеих костях появятся шестерки; б) хотя бы на одной кости появятся шестерки.

2. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее наугад вынимают два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара белые.

3. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены не потребует внимания рабочего первый станок, равна 0,7; второй - 0,8; третий – 0,9. Найти вероятность того, что в течение смены не потребуют внимания рабочего два станка.

4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников в переплете.

5. В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик наудачу взял 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.

7. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, во втором, третьем справочниках, соответственно равно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) во всех трех справочниках.

8. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится 5 очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое количество очков.

9. На трех станках производят одинаковые детали, причем на первом станке производят 25%, на втором станке 35%, на третьем - 40% всех деталей. В продукции трех станков брак составляет 5%, 4%, и 2% соответственно. Все детали поступают на склад.

а) Найти вероятность того, что случайно взятая деталь окажется бракованной.

б) Случайно взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом станке?

10. В группе спортсменов 15 лыжников, 5 бегунов. Вероятность выполнить норму для лыжника равна 0,8, для бегуна 0,9: а) найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму; б) наугад вызванный спортсмен выполнил норму. Какова вероятность того, что он лыжник?

11. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность проявления события в каждом испытании равна 0,2.

17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,02. Какова вероятность того, что из 50 билетов выигрышными будут 3 билета.

12. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков.