Второе неравенство Чебышева

Если существует , то справедливо неравенство

(40)

или . (41)

Пример 18. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность того, что по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов, если информация о дисперсии отсутствует.

Применим первое неравенство Чебышева, т.к. , а дисперсия неизвестна. По условию задачи = 5. Требуется найти вероятность . Перейдем к противоположному событию и вычислим ) по формуле (39)

,

а искомая вероятность =1 - = 1- 0,33 = 0,67.

Пример 19. Число солнечных дней в году, для данной местности является

случайной величиной со средним значением 100 дней и среднеквадратичным отклонением 20 дней. Оценить вероятность события А = ( 150).

Поскольку здесь известна дисперсия D() = 20 =40, применим второе неравенство Чебышева (41)

.

Содержание теорем, относящимся к закону больших чисел заключается в

том, что средняя арифметическая большого числа случайных величин практически уже не является случайной величиной, практически она постоянна, т.е. она обладает новым качественным состоянием. Примеров новых качественных состояний, как проявление закона больших чисел, можно привести очень много. Закон больших чисел лежит в основе различных видов страхования (страхование жизни, имущества и др.).Чем больше застраховано объектов, тем надежнее можно установить соотношение между страховыми взносами и выплатами. При планировании ассортимента ряда товаров широкого потребления учитывается спрос на них населения. В этом спросе проявляется действие закона больших чисел.