Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)

1.

2.

3.

4.

5.
для независимых случайных величин

· Доказательство последнего свойства следует из того, что для независимых случайных величин

·

Пусть теперь случайная величина неотрицательна. Тогда для нее существует последовательность простых случайных величин монотонно приближающая ее снизу.

Интеграл Лебега определим как предел интегралов от простых случайных величин.

Заметим, что так как последовательность интегралов от монотонно возрастающих функций тоже монотонно возрастает, у этой последовательности обязан быть предел, пусть даже равный бесконечности. Можно показать, что этот предел не зависит от последовательности приближающих простых случайных величин, т.е. определение корректно. Для этого используем следующую лемму

Лемма

Пусть - последовательность простых случайных величин, также простая случайная величина и

Тогда