Свойства характеристической функции

Очевидные свойства характеристической функции приведем без доказательства

1. Характеристическая функция существует для любой случайной величины

2.

3.

4. равномерно непрерывна. Действительно

по теореме Лебега о мажорируемой сходимости.

5. Если существует для некоторого k=1,2,..., то существует и причем
. Для доказательства достаточно продифференцировать необходимое количество раз интеграл, определяющий характеристическую функцию, по параметру t.

6.

7. Пусть и - две независимые случайные величины, тогда
. Это следует их того, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

8. Если - плотность случайной величины , то
- является преобразованием Фурье плотности. Подробно свойства преобразования Фурье рассматриваются в курсе математического анализа.