Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение при и называется стандартным нормальным распределением.

Плотность стандартного нормального распределения имеет вид при любом , а функция распределения

(1)

табулирована почти во всех математических справочниках. Функция (1) называется функцией Лапласа. Будем обозначать функцию Лапласа через .

Установим связь между и .

Свойство. Для любого справедливо соотношение

► ◄

Следствие. Если , то

(2)

► Как известно, если СВ задана плотностью распределения , то вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу , такова:

Для СВ распределенной по нормальному закону:

. ◄

Отметим один важный частный случай формулы (2):

Найдем вероятность того, что отклонение нормально распределенной СВ от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше некоторого числа , т.е требуется найти вероятность осуществления неравенства .

Произведем преобразования: , ,

По формуле (2):

Т.е.

(3)

Таким образом, как мы видим, вычисление любых вероятностей для нормально распределенной случайной величины сводится к вычислению функции Лапласа .

Свойства функции Лапласа.

1. . ► Это следует из того, что при пределы интеграла (1) совпадают. ◄

2. . ► . Использовали интеграл Пуассона . ◄

3. . ► . ◄

График функции Лапласа:

Например: СВ распределена по нормальному закону. МО и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу .