Формула полной вероятности. Формула Байеса

Предположим, что событие А может наступить только вместе с одним из попарно несовместных событий …, называемых гипотезами. Тогда справедлива формула полной вероятности:

т.е. вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.

Безусловные вероятности рассматриваются как априорные (доопытные) вероятности гипотез.

Предположим, что эксперимент произведён и в результате произошло событие А. Как изменится при этом апостериорная (послеопытная) вероятность гипотез ?

Условные вероятности гипотез при условии, что событие А имело место, вычисляются по формулам Байеса: , где Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример 1. Имеется три партии ламп по 20, 30, 50 штук в каждой. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равна для каждой партии соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из ста данных ламп проработает заданное время?

Решение. Пусть событие А – «выбранная лампа проработает заданное время». Формулируем гипотезы: - «лампа принадлежит первой партии», - «лампа принадлежит второй партии», - «лампа принадлежит третьей партии».

Тогда ; ; .

Условные вероятности по условию соответственно равны

; ; .

По формуле полной вероятности находим

Пример 2. В первом ящике имеются 8 белых и 6 чёрных шаров, а во втором – 10 белых и 4 чёрных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар – чёрный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик.

Решение. Пусть событие А – «выбран чёрный шар». Формулируем гипотезы:

- «выбран первый ящик», - «выбран второй ящик».

Тогда . Условные вероятности соответственно равны: , .