Теоремы группы ЦПТ

Центральной предельной теоремой (ЦПТ) называют группу теорем, дающих формулировки условий, при которых возникает нормальное распределение.

Теорема Линдеберга-Леви. Пусть Х₁ , Х₂ , … – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с М[Х_i] = m и D[Х_i] = d. Последовательность случайных величин (так, что M[Z_n] = 0; D[Z_n] = 1) при n®¥ и произвольных a и b удовлетворяет условию , где – функция Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа. При больших n закон распределения биномиальной величины с параметрами n и p близок к нормальному с параметрами a = np и , т.е. .

Локальная теорема Лапласа утверждает, что , откуда следует что , где

15.1. Х _i – независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром . Случайная величина Y равна . Найти Р { Y < 1100 }.

15.2. В процессе вычислений производится сложение 100 чисел, округленных до четвертого десятичного знака после запятой. Используя правило «трех сигм», найти максимальную абсолютную погрешность результата.

15.3. Вероятность поражения цели при одном выстреле р равна 0,2. Производится 100 выстрелов. Случайная величина X – число попаданий. Найти вероятность того, что будет а) 24 попадания; б) от 16 до 28 попаданий; в) больше 30 попаданий.

15.4. На предприятии имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,7 всего рабочего времени. Найти вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными а) 72 станка; б) от 60 до 80 станков; в) более 90 станков.

15.5. Для контроля продукции из очень большой партии изделий выбираются случайным образом 100 изделий. Вся партия отвергается, если среди отобранных изделий будет не менее 10 дефектных. Какова вероятность отвергнуть партию, доля дефектных изделий в которой составляет 15 %?

15.6. Х _i – независимые случайные величины, каждая из которых имеет равномерное распределение на отрезке [–1; 1]. Случайная величина Y равна . Найти .

15.7. Предприятие выпускает в среднем 5 % бракованных изделий одного наименования. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий будет a) 50 бракованных; б) более 70 бракованных.

15.8. Вероятность выхода из строя изделия за время испытаний на надежность q равна 0,05. Найти вероятность того, что за время испытаний 100 изделий выйдут из строя а) от 5 до 10 изделий; б) не менее 5 изделий; в) менее 5 изделий.