Двумерной называют случайную величину (Х, Y), возможные значения которой есть пары чисел (х, у). Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку М(Х, Y) на плоскости хОу, либо как случайный вектор .
Функция распределения двумерной случайной величины (Х, Y) определяется соотношением F(x; y) = P(X < x, Y < y) и геометрически определяет вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (Х, Y), лежащий левее и ниже ее.
Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны; непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан с помощью таблицы:
X Y | х1 | х2 | … | хi | … |
у1 | p11 | p21 | … | pi1 | … |
у2 | p12 | p22 | … | pi2 | … |
… | … | … | … | … | … |
yj | p1j | p2j | … | pij | … |
… | … | … | … | … | … |
где x1<x2<…<xi<…; y1<y2<…<yj<…;
|
|
pij – вероятность события, заключающаяся в одновременном выполнении равенств Х = хi; Y = yj, при этом .
Функция распределения двумерной дискретной случайной величины определяется равенством .
Закон распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть задан с помощью функции плотности вероятности f(x,y), удовлетворяющей условиям:
1) f(x; y) ³ 0; 2) .
Если все возможные значения (Х, У) принадлежат конечной области D, то .
Вероятность попадания случайной точки (Х, У) в область D определяется равенством .
Связь плотности вероятности f(x, y) и функции распределения F(x,y) двумерной непрерывной случайной величины задается соотношениями ; .
Законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины вычисляются по формулам ; .
Для нахождения законов распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины надо суммировать вероятности в таблице по строкам или по столбцам.
Условным распределением составляющей Х при Y = уj (j – сохраняет одно и то же значение при всех возможных значения Х) называют совокупность условных вероятностей , , …, .
Аналогично определяется условное распределение Y. Условные вероятности составляющих X и Y вычисляются соответственно по формулам
; .
Для непрерывных случайных величин формулы вычисления условных плотностей распределения выглядят так:
; .
Числовые характеристики составляющих вычисляются по формулам:
; – для дискретных случайных величин;
; – для непрерывных случайных величин;
|
|
; ;
; .
Точка называется центром рассеяния двумерной случайной величины (X, Y).
Для оценки тесноты взаимосвязи составляющих вычисляют корреляционный момент или ковариацию .
Корреляционный момент удобно вычислять по формуле , где в дискретном и в непрерывном случае.
Степень связи между составляющими в чистом виде характеризует так называемый нормированный корреляционный момент или коэффициент корреляции , обладающий следующими свойствами: 1) 2) тогда и только тогда, когда случайные величины связаны линейной зависимостью.
Случайные величины Х, У называются некоррелированными, если КXY = 0, а следовательно, и .
Случайные величины Х, Y называются независимыми, если вероятность одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке области ее значений, не зависит от того, какое значение приняла другая величина.
Для двумерной дискретной случайной величины, представленной в виде таблицы распределения, условие независимости составляющих Х и Y состоит в том, что для любых i и j , где , . Внешне это выражается в том, что строки и столбцы таблицы пропорциональны.
Для двумерной непрерывной случайной величины условие независимости состоит в том, что .
Независимые случайные величины всегда некоррелированны. Обратное, вообще говоря, неверно (т.е. некоррелированные величины могут быть зависимыми).
Условным законом распределения случайной величины Yx называется закон распределения случайной величины Y при условии, что Х = х.
Функциональная зависимость М[Yx] = j(x) называется регрессией случайной величины Y на случайную величину Х.
Среднее значение квадрата отклонения достигает минимально возможного, когда j(х) – регрессия Y на Х (минимизирующее свойство регрессии).
Функция из класса функций определяемых набором параметров а1, …, аk называется среднеквадратичной регрессией Y на Х в этом классе функций, если среднее значение квадрата отклонения достигает на наборе параметров минимального значения для всех функций этого класса.
Простейшей функцией является линейная: . Уравнение прямой среднеквадратичной регрессии Y на Х выглядит так: .
Аналогично уравнение прямой среднеквадратичной регрессии Х на Y: .
16.1. Восстановить законы распределения составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Найти условное распределение случайной величины Х при условии, что Y = y1. Найти условное распределение случайной величины Y при условии, что Х = х2.
Х Y | |||
0,2 | 0,18 | 0,22 | 0,16 |
0,8 | 0,08 | 0,16 | 0,2 |
16.2. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины.
Х Y | 0,8 | 1,5 | |
0,2 | 0,2 | 0,1 | |
0,2 | 0,1 | 0,2 |
16.3. По некоторой цели производится два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Составить таблицу распределения двумерной случайной величины (Х; Y), где Х – число попаданий, Y – число промахов. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y.
16.4. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной непрерывной случайной величины (Х; Y), имеющей плотность , где D – треугольник ограничен-ный линиями: х = 0; у = 0; х + у = 1. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Найти функцию распределения .
16.5. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) подчинена закону распределения с плотностью , где D – квадрат . Найти коэффициент а. Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y. Найти коэффициент корреляции и условные законы распределения Х, Y.
|
|
16.6. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) распределена равномерно в круге радиуса R = 5 с центром в начале координат. Доказать, что составляющие Х и Y являются зависимыми и некоррелированными величинами.
16.7. Найти плотность вероятности f(x; y) двумерной случайной величины (Х; Y), имеющей функцию распределения .
16.8. Найти уравнения прямых линий средних квадратических регрессий Y на Х и Х на Y двумерной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения:
Х Y | 0,2 | 0,5 | |||||
0,3 | 0,1 | ||||||
1,5 | 0,2 | 0,1 | |||||
0,1 | 0,2 | ||||||
16.9. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины.
Х Y | 0,5 | ||
0,5 | 0,2 | 0,1 | 0,2 |
0,1 | 0,3 | 0,1 |
16.10. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной непрерывной случайной величины (Х; Y), имеющей плотность , где D – прямоугольник . Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Найти функцию распределения .
16.11. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) подчинена закону распределения с плотностью , где D – квадрат . Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y. Найти коэффициент корреляции и условные законы распределения Х, Y.
16.12. Найти плотность вероятности f(x; y) двумерной случайной величины (Х; Y), имеющей функцию распределения .
16.13. Найти уравнения прямых линий средних квадратических регрессий Y на Х и Х на Y двумерной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения:
Х Y | 1,5 | ||
0,3 | 0,1 | 0,1 | |
0,1 | 0,2 | ||
0,1 | 0,1 |