Пример 6

Предположим, что надежность определения туберкулеза при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 95 % (т.е. 5% носителей туберкулёза остаются неопознанными). Вероятность того, что у здорового человека будет ошибочно определен туберкулёз, составляет 1%. Просвечиванию была подвергнута большая группа людей со средним процентом больных, равным 0,8%. Какова вероятность того, что человек признанный больным, действительно является носителем туберкулёза?

Решение. Событие А – человек признан больным.

Гипотезы:

В₁ – человек является носителем туберкулеза.

В₂ – человек здоров.

Используя условие задачи, имеем следующие значения вероятности:

Р(В₁) = 0,008 Р(В₂) = 1 – 0,008 = 0,992

По формуле полной верояности находим Р(А).

Р(А)=Р(А/В₁) · Р(В₁) + Р(А/В₂) · Р(В₂) = 0,95 · 0,008 + 0,01 · 0,992 =

= 0,0175

По формуле Байеса находим искомую вероятность:

.

Ответ: вероятность того, что человек признанный больным, действительно является носителем туберкулёза, равна 0,43.

Контрольные вопросы

1. Дайте определения: перестановок, сочетаний, размещений.

2. Сформулируйте классическое определение вероятностей. Укажите недостатки этого определения.

3. Какое событие называется достоверным, невозможным, случайным?

4. Дайте определение полной группы событий.

5. Какие события называются несовместными, совместными, противоположными, независимыми?

6. Дайте определение относительной частоты.

7. Сформулируйте статистическое определение вероятностей. Назовите условия существования статистической вероятности.

8. Сформулируйте теоремы о вероятности сумы двух совместных, несовместных событий.

9. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

10. Сформулируйте теорему о формуле полной вероятности.

11. Приведите формулу Байеса.

Список рекомендуемой литературы

1. Вентцель Е. С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М.:1986.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2002.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высш. шк., 2002.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. М.: Наука, 1978.

5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.