double arrow

Экспоненциальный (показательный) закон


Экспоненциальным законом называют распределение, для которого вероятность безотказной работы описывается показательным законом (рис. 1.4)

. (1.1)

Так как интенсивность отказов не зависит от возраста изделия (отказы в период нормальной работы), то

. (1.2)

Соответственно, плотность вероятности отказов будет

. (1.3)

Числовые характеристики экспоненциального закона распределения

- интенсивность отказов ;

- средняя наработка до отказа ;

- дисперсия ;

- среднее квадратичное отклонение . (1.4)

Коэффициенты асимметрии А и эксцесса Е экспоненциального закона распределения равны А =2; Е=6.

 

Рисунок 1.4 – Экспоненциальное распределение:

а – вероятность безотказной работы, б – плотность вероятности отказа,

в – интенсивность отказов, г – логарифм вероятности безотказной работы.

 

Характерным признаком экспоненциального распределения является равенство коэффициента вариации единице, т.е.

.

Так как интенсивность отказов l = const, то экспоненциальное распределение является распределением без последствий, т.е. вероятность отказов в каждую последующую единицу времени остается неизменной, сколько бы ни проработал безотказно элемент до данного момента времени.




Экспоненциальным законом распределения можно аппроксимировать время безотказной работы широкого круга объектов:

· особо ответственные машины, эксплуатируемые в период после приработки и до существенного проявления постепенных отказов;

· машины с последовательной заменой отказавших деталей;

· электрооборудование; гидроприводы и гидравлическое оборудование;

· системы управления сложных объектов, состоящих из многих элементов и др.; при этом время безотказной работы каждого из них может быть не распределено по экспоненциальному закону.

Достоинством экспоненциального закона распределения является его простота – оно зависит только от одного параметра. Принимая во внимание, что обычно , вероятность безотказной работы после разложения в ряд и отбрасывания малых членов ряда можно записать

.

Вероятность безотказной работы в зависимости от величины составит

1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001

0,368; 0,9; 0.99; 0,999; 0,9999

Если , то вероятность безотказной работы , где - средняя наработка на отказ. Поэтому 63% отказов возникает за время и только 37% отказов возникает позднее. Отсюда следует, что для обеспечения вероятности безотказной работы 0,9 или 0,99 можно использовать только малую долю среднего срока службы (соответственно 0,1 и 0,01).

Если работа изделия происходит при разных режимах, а, следовательно, и вероятность отказов (за время работы от 0 до ) и (за время работы от до ), то в соответствии с теоремой умножения вероятностей

.

Используя экспоненциальный закон распределения и учитывая, что обычно , можно определить к заданному моменту времени:



· среднее число изделий n, которое выйдет из строя

· среднее число изделий , которое останется работоспособным

.

Пример 1.2. Наработка пружины щековой дробилки имеет экспоненциальное распределение со средней наработкой Т = 40 суток. Построить график плотности и функцию данного распределения.

Решение.

Используя формулы (1.1)-(1.4), получим

где Q(t)= 1 – P(t) – вероятность отказа.

Результаты расчета приведены на рис. 1.5 и 1.6.

 

Рисунок 1.5 – Вероятность безотказной работы и отказа для пружины щековой дробилки

Рисунок 1.6 – Плотность вероятности отказов и интенсивность отказов пружины щековой дробилки

 

Пример 1.7. В конусной дробилке происходят неожиданные отказы футеровочных плит. Определить, в какой момент времени может быть обеспечена вероятность работы P(t) = 0,8, если в межремонтный период t = 30 суток вероятность отказа Q(t) = 0,623.

Решение.

Поскольку отказы происходят внезапно, то предполагаем, что наработки плит описываются экспоненциальным законом. Поэтому значение Q(t) = 0,623 соответствует моменту времени, равному средней наработке Т = 1/λ = 30 суток. Из формулы (1.1) следует









Сейчас читают про: