Точки разрыва функции и их классификация

Если хотя бы одно из условий определения 1 не выполнено, то точка является точкой разрыва. Различают следующие виды точек разрыва:

1) если существует, но функция в точке не определена или определена, но то точка называется точкой устранимого разрыва;

2) если существуют конечные односторонние пределы в точке , но они не равны друг другу, то точка называется точкой разрыва первого рода, а модуль разности — скачком функции в точке ;

3) если хотя бы один из односторонних пределов равен ¥ или вообще не существует, то точка называется точкой раз­рыва второго рода.

Таким образом, при исследовании функции на непрерывность необходимо проверить выполнение условий определения 1. Если — точка разрыва, то для установления характера разрыва не­обходимо вычислить односторонние пределы.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Область определения данной функции (–¥;1)Ç(1; +¥).

Следовательно, является точкой разрыва. Определим характер точки разрыва. Так как

–¥, +¥,

то является точкой разрыва второго рода.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Так функции , и непрерывны в области задания, то точками разрыва могут быть только точки перехода от одного аналитического выражения к другому. Исследуем функцию на непрерывность в этих точках.

1) Исследуем функцию в точке . Вычислим односторонние пределы

,

Так как односторонние пределы существуют, конечны, но не равны друг другу, то точка является точкой разрыва первого рода. Модуль разности между левым и правым пределом есть скачок. В данном случае скачок равен 1.

2) Исследуем функцию в точке . Вычислим односторонние пределы

,

,

,

То есть, . Следовательно, функция в точке непрерывна.