Интуитивное представление о непрерывной функции обычно связывают с такой функцией, график которой — непрерывная линия.
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:
1) функция определена в точке , т. е. ;
2) существует ;
3) .
Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1—3, то функция называется разрывной в точке , а точка — точкой разрыва.
Если воспользоваться определением предела функции в точке по Коши, то можно дать эквивалентное определение непрерывной функции в точке на языке « — ».
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любого заданного числа > 0 можно найти такое число > О (зависящее от и ), что для всех , для которых , будет выполняться неравенство .
В более краткой записи определение можно записать так:
непрерывна в точке
.
Так как — приращение аргумента, a — приращение функции в точке , то определение 2 можно сформулировать следующим образом: функция непрерывна в точке , если , т.е. при . Таким образом, получаем еще одно определение непрерывности.
|
|
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т. е. .
В некоторых случаях приходится пользоваться понятием односторонней непрерывности.
Определение. Функция , определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки , называется непрерывной слева (справа) в точке , если существует предел слева (справа) функции и он равен .
Другими словами,
непрерывна справа в точке ,
непрерывна слева в точке .
Из определения односторонней непрерывности в точке следует, что функция , определенная в некоторой -окрестности точки , непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.
Определение. Функция , непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом множестве.
Если X = , то для непрерывности функции на требуется, чтобы была непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т. е. в точке а, и непрерывна слева на правом его конце, т. е. в точке b.