Сравнение асимптотического поведения функций

Под асимпто­тикой, или асимптотическим поведением функции в окрестности некоторой точки , понимают описание поведения функции вблизи точки , в которой функция, как правило, не определена.

Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, ко­торая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.

Определение. Если и — бесконечно малые функции в и

,

то они называются бесконечно малыми одного порядка малости при .

Определение. Если , — бесконечно большие функции и

,

то они называются бесконечно большими одного порядка роста при .

Определение. Если функции , — бесконечно малые и , то говорят, что является бесконечно малой функцией более вы­сокого порядка по сравнению с функцией .

Определение. Если функции , — бесконечно малые и

то они называются эквивалентными при .

Функции и , эквивалентные при , называют также асимптотически равными при .

Асимптотическое равенство (эквивалентность) функций обозначается символом ~.

~ .

Например, из первого замечательного предела следует

~ .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функ­ций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т. е. если при ~ и ~ .