Первообразная функции и неопределённый интеграл

Определение. Функция , называется пер­вообразной для функции на множестве X, если она дифференци­руема для любого Х и или .

Так, например, первообразной для функции на множестве является функция , так как или для .

Теорема. Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную .

Будем рассматривать непрерывные на отрезке функции. Даже при таком ограничении задача восстановления функции по из­вестной производной (или известному дифференциалу) решается неоднозначно и не всегда просто.

Если, например, , то первообразной для этой функции является не только , но также и множество функций , где — произвольно выбранная постоянная.

Теорема. Если и — две различные первообразные одной и той же функции на множестве X то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. = + , где — постоянная.

Доказательство. Пусть и — первообразные функции на X. Их разность = является дифференцируемой функцией: . По теореме Лагранжа , но так как то следует, что = , где — постоянная, то есть или = + .

⊠

Следствие. Если — некоторая первообразная функции на множестве X, то все первообразные этой функции определяются выражением , где — произвольная постоянная.

Операция отыскания первообразной функции называ­ется интегрированием.

Определение. Совокупность всех первообразных функции на множестве X называется неопределенным интегра­лом и обозначается

.

В этой формуле называется подынтегральным выраже­нием, — подынтегральной функцией, — переменной интегриро­вания, а — постоянной интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному вы­ражению, а производная — подынтегральной функции.

Например:

, так как или

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл пред­ставляет собой однопараметрическое семейство кривых ( — параметр).

На рисунке изображен неопределенный интеграл от функции , т. е. семейство парабол .

Кривые семейства [ ] называют интегральными кривыми. Они не пересека­ются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости про­ходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси .