Задача Лагранжа

Особенности задачи Лагранжа по отношению к общей задаче оптимального управления, записанной выше: отсутствие неинтегральной части критерия, зачастую граничные условия фиксированы.

Пример: для теплообменника, описываемого ДУ , найти оптимальное управление, обеспечивающее изменение температуры на выходе от до при за заданное время и с минимальным расходом энергии, т.е. .

Для общей постановки задачи поиск экстремалей проводят по уравнениям Эйлера (Эйлера-Лагранжа):

, ;

, .

L - функция Лагранжа;

- коэффициенты Лагранжа.

Если функционал не содержит производных, т.е. , а уравнение ограничений можно записать в форме Коши:

;

либо это можно обеспечить введением новых переменных, тогда систему уравнений для поиска управляющих воздействий можно записать проще.

Подставляя дифференциальные уравнения в функцию

Лагранжа

,

где - коэффициент, задаваемый произвольно, (обычно его принимают равным +1 или -1),

перенесем слагаемые с производными в левую часть

.

Функцию

или , не содержащую производных, называют функцией Гамильтона.

Запишем уравнения Эйлера для функции Гамильтона. Для этого в систему уравнений Эйлера -Лагранжа

, ;

, ;

подставим и, учитывая, что Н не содержит производных от x и u, получим

, ;

, ;

или

, ;

, .

Получаем более простую систему ДУ для нахождения и .