1.
· Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
,
· дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
.
► Пусть .
Тогда
и дифференциал
. ◄
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
.
► Действительно, так как , то
. ◄
Замечание. Свойства 1 и 2 показывают, что в случае, когда знаки дифференцирования и интегрирования стоят друг за другом, то они уничтожаются.
3. Постоянный множитель , , можно выносить за знак неопределенного интеграла:
.
► Действительно, пусть – первообразная функции : . Тогда – первообразная функции :
.
Отсюда следует, что
,
где постоянная . ◄
4. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:
.
► Пусть и – первообразные функций и : , . Тогда функции являются первообразными функций . Следовательно,
. ◄
5. Если – первообразная функции , то
.
► Действительно, . ◄
|
|
4. Таблица основных неопределенных интегралов. Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то большинство из приводимых формул может быть получено обращением соответствующих формул дифференцирования.
Таблица основных неопределенных интегралов
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. .
Интегралы в приводимой выше таблице называются табличными. Их следует знать наизусть.
В справедливости приведенных выше формул можно убедиться, продифференцировав их правые части.
Если первообразная функция является элементарной функцией, то говорят, что интеграл выражается в элементарных функциях или функция интегрируема в конечном виде. Однако не всякий интеграл от элементарной функции выражается в элементарных функциях. Используя основные правила интегрирования, можно находить интегралы от более сложных функций.
В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении нет общих приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный (искомый) интеграл к табличному.