2015-06-05
405
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
Лекция 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Определение первообразной функции.
2. Неопределенный интеграл и его свойства.
3. Основные свойства неопределенного интеграла
4. Таблица основных неопределенных интегралов.
5. Основные методы интегрирования.
1. Определение первообразной функции. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной 
или дифференциала 
функции 
. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции требуется найти такую функцию 
, что 
.
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции по известной производной этой функции.
Определение 1. Функция , называется первообразной функции на интервале 
, если для любого 
выполняется равенство .
Замечание 1. Если является первообразной функции на интервале , то непрерывна на . (Почему?)
Замечание 2. В определении первообразной 
и 
могут быть как конечными, так и бесконечными.
Пример. Первообразной функции 
на множестве 
является функция 
, так как 
.
Очевидно, что первообразными будут также и любые функции 
, где 
– постоянная, поскольку 
.
В дифференциальном исчислении было доказано, что если дифференцируема, то ее производная 
единственна. Приведенный выше пример показывает, что первообразная таким свойством не обладает.
Теорема 1. Если функция 
является первообразной функции на , то множество всех первообразных для функции совпадает с множеством функций вида 
, где 
– постоянная.
► Пусть – первообразная функции на . Тогда для функции имеем 
, т.е. является первообразной функции .
Пусть теперь 
– некоторая другая, отличная от , первообразная функции , т.е. 
. Тогда для функции 
имеем
,
т.е. 
.
Возьмем две произвольные точки 
. На отрезке 
для функции 
выполнены все условия теоремы Лагранжа и поэтому справедлива формула
, где 
.
А поскольку , то отсюда следует, что 
, а это означает, что 
. Таким образом, 
, или 
.◄
Вопрос: всякая ли функция имеет первообразную?
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Любая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную .
