Занятия 7, 8. Дробно-линейная функция и отображения, осуществляемые ею

Функция , где – комплексные числа, удовлетворяющие условию , называется дробно-линейной, а отображение, осуществляемое ею – дробно-линейным отображением. При надо считать, что , , а при считать .

Существует единственная дробно-линейная функция, отображающая заданные три различные точки расширенной комплексной плоскости в заданные три различные точки соответственно. Она находится из соотношения

, (1)

которое надо рассматривать как уравнение относительно . При этом, если некоторые из чисел равны , то дробь, у которой в числителе и знаменателе присутствует , надо считать равной 1. Например, если w₁= , то надо считать

Точки и называются симметричными относительно окружности , если они расположены на одном луче, выходящем из центра , и

Дробно-линейная функция отображает окружность в окружность (круговое свойство), а точки, симметричные относительно окружности – в точки, симметричные относительно образа этой окружности (свойство симметрии). При этом прямую надо рассматривать как окружность, проходящую через ∞ и замкнутую в бесконечно удаленной точке.

Чтобы найти образ ориентированной окружности (или прямой) при дробно-линейном отображении , надо взять на данной окружности три различные точки согласно направлению обхода, найти их образы и провести через них окружность, которая и будет образом данной окружности. Направление обхода на ней надо брать от точки к точке и от к .

Чтобы найти образ части окружности или прямой (дуги, отрезка, луча) при дробно-линейном отображении , надо взять на ней три точки: начальную , какую-нибудь «среднюю» и конечную , найти их образы , провести через них окружность и взять ту часть, для которой – начальная точка, – «средняя точка» и – конечная точка.

Чтобы найти образ области, ограниченной дугами окружностей и частями прямых, надо выбрать на границе области направление обхода так, чтобы область оставалась слева, и найти образы всех частей границы с учетом их направлений. Эти образы в совокупности образуют некоторую ориентированную замкнутую линию, может быть, неограниченную, т.е. замкнутую в . Тогда область, остающаяся слева от этой линии, будет образом исходной области.

Чтобы найти какое-нибудь одно конформное отображение области , ограниченной окружностью (или прямой), на подобную же область , надо выбрать направления обходов границ и областей и так, чтобы области оставались слева. Затем на границах и взять согласно направлениям обходов по три различных точки и соответственно и из уравнения (1) найти дробно-линейную функцию , которая и будет одним из конформных отображений области на область .

В общем случае конформное отображение единичного круга на единичный круг имеет вид:

конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на единичный круг имеет вид:

конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на верхнюю полуплоскость Im w > 0 имеет вид:

Задачи

1. Найти дробно-линейную функцию, отображающую точки соответственно в точки .

Решение:Подставив в соотношение (1) заданные значения

получим:

Считая

получим:

откуда находим:

2. Найти точку, симметричную с точкой относительно окружности .

Решение. Из рис. 1, на котором изображены точка z₁ = 3 и окружность видно, что искомая симметричная точка расположена внутри окружности и имеет вид , где x > -2. Это следует из подобия соответствующих треугольников. Подставив z₁, z₂ в равенство

получим: , откуда с учетом неравенства x > -2 находим . Тогда .

3. Найти образы окружностей при отображении

Решение. Так как

то уравнения окружностей имеют вид:

Подставив сюда , найденное из уравнения , получим:

Считая , получим семейство вертикальных прямых

4. Найти образы области D при отображении , если

а)

б)

в) .

Решение. а) Область D и положительная ориентация ее границы указаны на рис. 2.

Граница области в данном случае состоит из двух частей: полуокружности и двух лучей, которые надо рассматривать как одну непрерывную часть прямой Im z = 0, так как прямая считается окружностью, проходящей через , т.е. непрерывной кривой, замкнутой в . На этих лучах, как на одной части границы , выберем начальную точку z₁ = -1, среднюю точку z₂ = , конечную точку z₃ = 1 и найдем их образы

Проведем через точку – , 1, окружность и возьмем ту часть, для которой - – начало, 1 – средняя точка, – конец. Ею будет дуга Г₁ (рис. 3). Направление обхода на дуге Г₁ берется от – к 1 и от 1 к . Эта дуга будет образом совокупности двух лучей .

Найдем образ полуокружности . Образами начала 1, средней точки – и конца -1 полуокружности будут точки , 0 и – соответственно. Окружность, проходящая через эти точки, есть прямая Re w = 0, поэтому образом полуокружности будет отрезок Г₂ с концами и – , направленный сверху вниз (рис. 3).

Следовательно, образом границы при отображении будет замкнутая кривая Г₁ Г₂, направленная против часовой стрелки, а образом области D – полукруг, изображенный на рис. 3.

б) В данном случае область D представляет собой расширенную комплексную плоскость С с разрезом по отрезку [-2; 1] (рис. 4).

Так как дробно-линейная функция отображает на , то образом области D будет , из которой надо выкинуть образ отрезка [-2;1]. Так как образами начала -2, «средней точки» 0 и конца 1 при отображении будут соответственно точки , то образом отрезка [-2;1] будет луч . Тогда образом области D будет плоскость с разрезом по лучу (рис.5).

в) Граница области D состоит из прямой , ориентированной слева направо, и окружности , ориентированной против часовой стрелки (рис. 6). При отображении точки , расположенные на прямой согласно направлению обхода, переходят соответственно в точки Значит, прямая

переходит в прямую , ориентированную справа налево (рис.7). Аналогично, взяв на окружности точки 2 , 1+ , 0 и вычислив их образы , найдем образ окружности . Им будет прямая , ориентированная слева направо. Значит, образом границы будет совокупность прямых Г₁и Г₂, а образом области D будет полоса , изображенная на рис. 7.

5. Найти какое-нибудь конформное отображение области на полуплоскость .

Решение. Выберем направления обходов границ областей D₁ и D₂ (рис.8) так, чтобы области оставались слева. Согласно этим направлениям на границах и возьмем по три точки и и, подставив их в уравнение (1), найдем дробно-линейное отображение

которое и будет одним из искомых конформных отображений.

6. Найти конформное отображение верхней полуплоскости на единичный круг удовлетворяющее условиям .

Решение. Так как общий вид конформного отображения верхней полуплоскости на единичный круг имеет вид

то числа надо выбрать так, чтобы

откуда = ,

Значит, искомое конформное отображение имеет вид

7. Найти конформное отображение полуплоскости Re z + Im z < 0 на круг удовлетворяющее условиям

Решение. Так как любое конформное отображение области, ограниченной окружностью (или прямой), на подобную область является дробно-линейным, то согласно свойству симметрии дробно-линейной функции при искомом отображении точка , симметричная точке относительно прямой Re z + Im z = 0 (рис. 9), перейдет в точ-

ку , симметричную точке относительно окружности (рис. 10), которая является образом прямой Re z + Im z = 0, при искомом отображении. Следовательно, точки переходят соответственно в точки , подставив которые в уравнение (1), найдем искомое отображение:

8. Найти конформное отображение круга на круг , удовлетворяющее условиям , .

Решение. Точке 2 симметрична относительно окружности точка , а точке симметрична относительно окружности точка -2 . Следовательно, при искомом дробно-линейном отображении точки 2 и перейдут соответственно в точки и 2 . Пусть в точку переходит некоторая неизвестная пока точка . Тогда дробно-линейное отображение, переводящее точки 2, , соответственно в точки , , -2 найдется из уравнения

откуда

Для нахождения воспользуемся условием и условием , означающим, что при искомом отображении граничная точка z = 3 круга переходит в некоторую граничную точку круга .