В случае линейного пространства подразумевается, что операции сложения и умножения хорошо согласованы между собой и позволяют осуществлять содержательные преобразования

Свойства (аксиомы) операций в линейном пространстве.

Пусть f, g, h L, , b R.

1. f + g = g + f (коммутативность),

2.. (f + g) + h = f +(g + h) (ассоциативность),

3. элемент 0 L: f + 0 = f (0 - нейтральный элемент)

/ можно доказать, что нейтральный может быть только один /,

4. для f L, - f: f + (-f) = 0 (-f - противоположный элемент)

/ можно доказать, что для каждого элемента может быть только один противоположный /,

5. ^. (f + g) = ^. f + ^. g,

6. ( + b) ^. f = ^. f + b ^. f,

7. ( ^. b) ^. f = ^. ( b ^. f),

8. 1^. f = f

/ из этого можно вывести, что -f = (- 1 ) ^. f /.