Примеры. 1. Обозначим через Rn множество всевозможных упорядоченных наборов из nчисел: Rn = { (

1. Обозначим через Rⁿ множество всевозможных упорядоченных наборов из n чисел: Rⁿ = { ( , , …, ): ∊ R, i = 1, 2, …, n }.

Если a =( , , …, ) и b =( , , …, ) – некоторые два из таких наборов, а α∊ R то, определив

i) a + b = ( , , …, ) + ( , , …, ) ( , , …, ),

ii) α ^. a = α ^. ( , , …, ) ( α ^. , α ^. , …, α ^. ),

т.е. выполняя линейные действия покоординатно, получим линейное пространство. Соблюдение аксиом сразу следует из того, что они справедливы для каждой координаты отдельно как для действий над действительными числами.

Замечание. Пространство Rⁿ равносильно по своей сути n –мерному векторному пространству, т.е. семейству всех векторов, среди которых есть n штук линейно независимых. Наборы из из n чисел соответствуют линейным комбинациям, которые можно составить из базисных векторов, используя коэффициенты из наборов.

2. Обозначим через C [ a, b ] множество всех непрерывных на отрезке [ a, b ] функций.

Если f и g – две такие функции, а α∊ R то, определив

i) f + g = (f + g)(x) f (x) + g(x), x ∊ [ a, b ],

ii) α ^. f = ( α ^.f) (x) α ^.f (x), x ∊ [ a, b ],

получим линейное пространство. Выполнение аксиом несложно проверить.