2015-06-26
1985
Задать аналитически следующие отображения на R2.
1. Симметрия относительно оси Ox.
В примере 3 показано, что это отображение является линейным отображением. Обозначим его А. По доказанному предложению отображение в координатах имеет вид:
A 
= 
. Найдём коэффициенты матрицы.
1 способ.
Образом вектора 
= при симметрии относительно оси Ох является вектор A(
= 
,
т.е. = картинка!!!
Покоординатно получаем:
при всех x, y.
В первом уравнении правая часть не зависит от y => 
=0 => 
=1.
Во втором уравнении правая часть не зависит от x => 
=0 => 
=-1.
Значит, матрица отображения имеет вид: A = 
.
2 способ
Для отыскания 4-х неизвестных коэффициентов матрицы составим 4 уравнения. Достаточно рассмотреть отображение двух конкретных векторов. Например, найдём образы векторов 
и 
. Получаем
, т.е.
= 
; 
отсюда 
3 способ
Воспользуемся замечанием к утверждению теоремы. Найдём образы единичных векторов на осях координат:
= и 
.
Координаты полученных векторов являются столбцами матрицы отображения: A = .
2. A – симметрия относительно Oy.
Отображение принципиально не отличается от предыдущего.
Используя 1 способ рассуждения, получаем: 
= 
, т.е.
при всех x, y.
В первом уравнении правая часть не зависит от y => =0 => = -1.
Во втором уравнении правая часть не зависит от x => =0 => = 1.
Значит, матрица отображения имеет вид: A = 
.
По 3 способу рассуждения достаточно найти образы единичных векторов:
и 
- эти векторы образуют столбцы матрицы.
A= .
3. A – симметрия относительно прямой y=x.
Это отображение является линейным, как и две предыдущие осевые симметрии.
и 
4. A – симметрия относительно y= -x.
A = 
.
5. A – центральная симметрия (поворот на 180о).
6. Поворот на угол α против часовой стрелки.
Рассмотрим единичные векторы 
и 
и найдём их образы.
Замечание:
Матрицу поворота на угол α по часовой стрелке можно получить, подставив в предыдущую вместо α угол –α:
