Задать аналитически следующие отображения на R2.
1. Симметрия относительно оси Ox.
В примере 3 показано, что это отображение является линейным отображением. Обозначим его А. По доказанному предложению отображение в координатах имеет вид:
A = . Найдём коэффициенты матрицы.
1 способ.
Образом вектора = при симметрии относительно оси Ох является вектор A( = ,
т.е. = картинка!!!
Покоординатно получаем:
при всех x, y.
В первом уравнении правая часть не зависит от y => =0 => =1.
Во втором уравнении правая часть не зависит от x => =0 => =-1.
Значит, матрица отображения имеет вид: A = .
2 способ
Для отыскания 4-х неизвестных коэффициентов матрицы составим 4 уравнения. Достаточно рассмотреть отображение двух конкретных векторов. Например, найдём образы векторов и . Получаем
, т.е.
= ;
отсюда
3 способ
Воспользуемся замечанием к утверждению теоремы. Найдём образы единичных векторов на осях координат:
= и .
Координаты полученных векторов являются столбцами матрицы отображения: A = .
|
|
2. A – симметрия относительно Oy.
Отображение принципиально не отличается от предыдущего.
Используя 1 способ рассуждения, получаем: = , т.е.
при всех x, y.
В первом уравнении правая часть не зависит от y => =0 => = -1.
Во втором уравнении правая часть не зависит от x => =0 => = 1.
Значит, матрица отображения имеет вид: A = .
По 3 способу рассуждения достаточно найти образы единичных векторов:
и - эти векторы образуют столбцы матрицы.
A= .
3. A – симметрия относительно прямой y=x.
Это отображение является линейным, как и две предыдущие осевые симметрии.
и
4. A – симметрия относительно y= -x.
A = .
5. A – центральная симметрия (поворот на 180о).
6. Поворот на угол α против часовой стрелки.
Рассмотрим единичные векторы и и найдём их образы.
Замечание:
Матрицу поворота на угол α по часовой стрелке можно получить, подставив в предыдущую вместо α угол –α: