Кут між прямою та площиною визначається кутом між цією прямою та її
проекцією на площину (рис.3.15). Нехай пряма задана канонічним рівнянням
а площина - загальним рівнянням
.
Направляючий вектор прямої має координати , а нормальний вектор площини Очевидно, що кут між прямою і площиною дорівнює де це кут між
Рис. 3.15 векторами і Тоді і
Отже, кут між прямою і площиною визначається за формулою
(3.33)
Пряма паралельна площині якщо вектори і перпендикулярні. Тому умова паралельності прямої і площини має вигляд
(3.34)
Пряма перпендикулярна площині якщо вектори і колінеарні, і умова перпендикулярності прямої і площини запишеться так
(3.35)
Приклад 1. Обчислити віддаль між двома паралельними прямими
і .
Р о з в ‘ я з о к. Візьмемо на прямій точку і знайдемо основу перпендикуляра , опущеного із точки на пряму Для цього проведемо через точку площину, перпендикулярну прямій Рівняння площини має вигляд Точка - це точка перетину даної площини з прямою Знайдемо координати точки , розв’язавши систему рівнянь
|
|
Дану систему рівнянь найкраще розв’язувати, записавши рівняння прямої в параметричній формі
Тому Отже, Віддаль між двома прямими і дорівнює довжині відрізка , тобто
Приклад 2. Знайти проекцію точки на площину
Р о з в ‘ я з о к. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до заданої площини, і знайдемо точку їх перетину Запишемо рівняння прямої в параметричній формі і розв’яжемо систему рівнянь
Отже, проекція точки на задану площину має координати