Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини

Кут між прямою та площиною визначається кутом між цією прямою та її

проекцією на площину (рис.3.15). Нехай пряма задана канонічним рівнянням

а площина - загальним рівнянням

.

Направляючий вектор прямої має координати , а нормальний вектор площини Очевидно, що кут між прямою і площиною дорівнює де це кут між

Рис. 3.15 векторами і Тоді і

Отже, кут між прямою і площиною визначається за формулою

(3.33)

Пряма паралельна площині якщо вектори і перпендикулярні. Тому умова паралельності прямої і площини має вигляд

(3.34)

Пряма перпендикулярна площині якщо вектори і колінеарні, і умова перпендикулярності прямої і площини запишеться так

(3.35)

Приклад 1. Обчислити віддаль між двома паралельними прямими

і .

Р о з в ‘ я з о к. Візьмемо на прямій точку і знайдемо основу перпендикуляра , опущеного із точки на пряму Для цього проведемо через точку площину, перпендикулярну прямій Рівняння площини має вигляд Точка - це точка перетину даної площини з прямою Знайдемо координати точки , розв’язавши систему рівнянь

Дану систему рівнянь найкраще розв’язувати, записавши рівняння прямої в параметричній формі

Тому Отже, Віддаль між двома прямими і дорівнює довжині відрізка , тобто

Приклад 2. Знайти проекцію точки на площину

Р о з в ‘ я з о к. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до заданої площини, і знайдемо точку їх перетину Запишемо рівняння прямої в параметричній формі і розв’яжемо систему рівнянь

Отже, проекція точки на задану площину має координати