Расстояние от точки до плоскости

Пусть даны точка M^* (x^*; y^*; z ^*)и плоскость α: Ax+By+Cz+D= 0. Формула для расстояния d(M^*,α) от точки M^* до плоскости α выводится аналогично формуле для расстояния от точки до прямой на плоскости. Если M ₀ некоторая точка плоскости α, то

.

Применяя формулу, выражающую проекцию одного вектора на другой через их скалярное произведение, и учитывая условие (т.е. Ax ₀ +By ₀ +Cz ₀ +D= 0 – верное равенство), получим

.

Это и есть формула для вычисления расстояния от точки M ^*(x ^*; y ^*; z ^*) до плоскости α:Ax+By+Cz+D= 0.

Пример. Составить уравнение плоскостей, параллельных данной плоскости α: 2 x– 2 y–z– 3=0 и отстоящих от нее на расстояние d= 5.

Решение. Найдем какое-нибудь решение уравнения 2 x– 2 y–z– 3=0. Пусть, например x= 0, y= 0,тогда z= – 3, значит точка M ₀(0;0;–3) α. По условию искомые плоскости параллельны данной. Значит, их уравнения отличаются от уравнения данной плоскости α лишь свободным членом:

β: 2 x– 2 y–z+D= 0.

Запишем расстояние от точки M ₀до плоскости β и приравняем его 5:

,

или , .

Отсюда имеем D ₁ =– 18, D ₂ = 12. Искомые плоскости имеют уравнения:

2 x– 2 y–z– 18 = 0 и 2 x –2 y–z+ 12 = 0.

ЛЕКЦИЯ 8