2015-06-28
2251
Выведем уравнение плоскости, которая проходит через три различные точки M 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2) и M 3(x 3, y 3, z 3), не лежащие на одной прямой. Так как указанные точки не лежат на одной прямой, векторы 
и 
неколлинеарны, а потому произвольная точка M (x, y, z) лежит в одной плоскости с точками M 1, M 2, M 3 тогда и только тогда, когда векторы 
, 
и 
компланарны. Но компланарность равносильна равенству нулю смешанного произведения векторов. Записав смешанное произведение через проекции векторов, получим:
. (1)
Это и есть уравнение плоскости проходящей через данные три точки.
II Уравнение плоскости “в отрезках”
Рассмотрим плоскость, которая пересекает все координатные оси и не проходит через начало координат. Введем обозначения для точек пересечения с осями: M 1(a;0;0), M 2(0; b;0) и M 3(0;0; c). Составим уравнение плоскости, используя формулу (1):
.
Вычислив определитель, получим:
(x–a) bc+yac+zab= 0.
Разделим обе части уравнения на abc:
.
И окончательно
. (2)
Это и есть уравнение плоскости “в отрезках”.
