Практическое занятие. Тема. Прямая на плоскости

Тема. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной прямой. Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор параллельный данной прямой.

Прямая на плоскости в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;

2) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ; 3) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение); 4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ; 5) -уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит; () – угол, который прямая составляет с осью ; - длина отрезка (со знаком ), отсекаемого прямой на оси (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной). 6) -уравнение прямой в отрезках, где и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением на плоскости, находится по формуле: .

Угол , () между прямыми и , заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из формул: ; .

, если или .

,если или

Координаты точки пересечения прямых и находятся как решение системы линейных уравнений:

или .

В задачах 3.1-3.3 требуется написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую:

3.1 Прямая задана точкой и нормальным вектором :

а) ; б) ; в) .

3.2 Прямая задана точкой и направляющим вектором :

а) ; б) ; в) .

3.3 Прямая задана двумя своими точками и :

а) ; б) ; в) .

3.4 Определить угловой коэффициент и отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, заданной уравнением. Построить прямую.

3.5 Вычислить угол между двумя прямыми: .

3.6 Через точку провести прямую, параллельную прямой

3.7 Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую

3.8 Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и:

а) параллельна прямой б) образует угол в с прямой

в) перпендикулярна г) образует угол в с прямой

3.9 Через точку провести прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.

3.10 Написать уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна: а) оси абсцисс; б) биссектрисе координатного угла; в) прямой

3.11 Даны вершины треугольника: Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне.

3. 12 Даны вершины треугольника: Составить уравнения:

а) трех его сторон; б) высоты, опущенной из вершины на сторону ;

в) медианы, проведенной из вершины ; г) биссектрисы угла .

3.13 Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой

3.14 Через точку провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями, была равна .

3.15 Найти расстояние точки : а) от прямой

б) от прямой в) от прямой

3.16 На оси ординат прямоугольной системы координат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой

3.17 Доказать, что прямые параллельны между собой, и найти расстояние между ними.

3.18 Даны уравнения двух параллельных прямых: Составить уравнение прямой им параллельной и проходящей посередине между ними.

3.19 Найти точку, симметричную с точкой относительно прямой

3.21 Даны уравнения сторон треугольника: Вычислить координаты его вершин.

3.22 Даны две вершины треугольника и точка пересечения его высот. Вычислить координаты третьей вершины

3.23 Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон:

3.24 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух высот: и

3.25 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух медиан: и

Ответы: 3.1 а) б) в) 3.2 а) б) в) 3.3 а) б) в) 3.4 а) б) в) 3.5 а) , б) , в) , г) . 3.6 3.7 3.8 а) , б) , в) , г) . 3.9 . 3.10 а) , б) , в) . 3.11 . 3.12 а) б) ; в) ; г) . 3.13 S=9. 3.14 ; 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.21 (3,0), и 3.22 3.23 , , 3.24 3.25